Кіріспе
Ықтималдық теориясындағы ұғым. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы немесе түсіндірмесі Якоб Бернулли мен Пьер Симон Лапластың еңбектерімен байланыстырылады. Лапластың "Théorie analytique des probabilités" еңбегінде айтылғандай, оқиғаның ықтималдығы – оған қолайлы жағдайлардың санының, барлық мүмкін жағдайлардың санына қатынасы, егер бұл жағдайлардың ешқайсысының қалғандарынан артық болуын күтуге негіз болмаса, оларды біз үшін тең мүмкін етеді. Бұл анықтама, негізінен, бейтараптық принципінің салдары болып табылады. Егер элементарлық оқиғаларға бірдей ықтималдықтар берілсе, онда элементарлық оқиғалардың дизъюнкциясының ықтималдығы – дизъюнкциядағы оқиғалардың санының, элементарлық оқиғалардың жалпы санына бөлінуімен анықталады. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы он тоғызыншы ғасырдың бірнеше авторлары, соның ішінде Джон Венн мен Джордж Буль тарапынан сынға алынды. Олардың сын-пікірлерінің нәтижесінде, әсіресе Р.А. Фишердің еңбектері арқылы, жиіліктік анықтама ықтималдықтың кеңінен қабылданған анықтамасына айналды. Байес ықтималдығына деген жалпы қызығушылықтың артуына байланысты классикалық анықтама қайта жанданды, себебі Байес әдістеріне алдын ала ықтималдық таралуы қажет, ал бейтараптық принципі мұндай таралудың бір көзін ұсынады. Классикалық ықтималдық, эксперимент жүргізілгенге дейін жиі орынды көрінетін білімсіздікті көрсететін алдын ала ықтималдықтарды ұсынуға мүмкіндік береді.
The classical definition or interpretation of probability is identified with the works of Jacob Bernoulli and Pierre Simon Laplace. As stated in Laplace's Théorie analytique des probabilités,
The probability of an event is the ratio of the number of cases favorable to it, to the number of all cases possible when nothing leads us to expect that any one of these cases should occur more than any other, which renders them, for us, equally possible. This definition is essentially a consequence of the principle of indifference. If elementary events are assigned equal probabilities, then the probability of a disjunction of elementary events is just the number of events in the disjunction divided by the total number of elementary events. The classical definition of probability was called into question by several writers of the nineteenth century, including John Venn and George Boole. The frequentist definition of probability became widely accepted as a result of their criticism, and especially through the works of R. A. Fisher. The classical definition enjoyed a revival of sorts due to the general interest in Bayesian probability, because Bayesian methods require a prior probability distribution and the principle of indifference offers one source of such a distribution. Classical probability can offer prior probabilities that reflect ignorance which often seems appropriate before an experiment is conducted.
Тарих
Математикалық пән ретінде ықтималдық теориясы геометриямен салыстырғанда өте кеш пайда болды, дегенмен әлемнің түкпір-түкпіріндегі мәдениеттерде адамдардың қазық тастап ойнағаны туралы тарихқа дейінгі дәуірден мәліметтер бар. Ықтималдық туралы алғаш жазғандардың бірі – Джероламо Кардано. Ол, мүмкін, классикалық ықтималдықтың ең алғашқы анықтамасын жасаған. Ықтималдықтың қалыпты дамуы 1654 жылы Блез Паскальдың әкесінің досы Пьер де Фермамен ойнауларға байланысты екі мәселе туралы хат алмасуынан басталды. Бұл мәселелерді Паскаль сол жыны Чевальер де Мереден естіген, содан кейін сапар барысында онымен бірге болған. Бір мәселе – «нүктелер мәселесі» деп аталатын классикалық мәселе (Лука Пачоли 1494 жылы зерттеген). Олар сапар барысында басқа математикалық-философиялық мәселелер мен парадокстарды да талқылады, Мере бұл оның жалпы философиялық көзқарасын нығайтады деп ойлады. Паскаль математиканы әдемі және мінсіз, бірақ шындықпен байланысы нашар деп есептеген Меренің пікірімен келіспеді және осы екі мәселені таза математика шеңберінде шешіп, Меренің қате екенін дәлелдеуге бел буды. Ферманың да осыған ұқсас қорытындыға келгенін білгенде, олар мәселелерді толық шешкеніне көз жеткізді. Бұл хат алмасу сол кездегі басқа ғалымдар арасында, атап айтқанда Гюйгенс, Роберваль және жанама түрде Карамюльге тарады.
Жарты ғасырдан кейін Якоб Бернулли ықтималдықты терең түсінді. Ол теңдестірулер мен комбинацияларды оңай қолдана білді, ықтималдық тұжырымын классикалық анықтамадан тыс мысалдармен (мысалы, жеке, сот және қаржылық шешімдер) талқылады және ықтималдықтарды қайталап жасалған тәжірибелер арқылы бағалауға болатынын, тәжірибелер саны артқан сайын белгісіздік азаятынын көрсетті. 1765 жылы жарық көрген Дидро мен Д’Аламбердің классикалық «Энциклопедиясында» ықтималдық туралы кең талқылау және сол уақытқа дейінгі білімнің жиынтығы бар. «Табиғатты қарастырудан туындаған» (физикалық) және «өткен тәжірибеге негізделген, болашаққа сенімді қорытынды жасауға мүмкіндік беретін» (дәлелді) ықтималдықтар арасында айырмашылық жасалады. Ықтималдықтың анық және тұрақты анықтамасының авторы Лаплас болды. 1814 жылы ол былай деді:
Бұл сипаттама ықтималдықтың классикалық анықтамасын береді. Лаплас жарты ғасыр бойы ықтималдыққа қатысты көптеген құжаттардың (техникалық және насихаттық) бірнеше басылымдарын жариялады. Оның көптеген ізашарлары (Кардано, Бернулли, Байес) бір құжатты өмірден өткен соң жариялаған.
Сын
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы физикалық симметрияға негізделген оқиғаларға тең ықтималдықтарды тағайындайды, бұл сыйлықтар, карталар және ойыншық текшелер үшін табиғи. Кейбір математиктер бұл анықтаманың айналмалы екенін айтады. "Әділ" монетаның ықтималдығы – "Әділ" монетаның ықтималдығы арқылы анықталады. Анықтама өте шектеулі. Ол физикалық симметрия жоқ жағдайлар туралы ештеңе айтпайды. Мысалы, сақтандыру сыйлықақыларын шығынның өлшенген деңгейімен ғана рационалды бағалауға болады. Ең қарапайым және идеалданған жағдайларды қоспағанда (шектеулі анықтаманың кеңейтілуі), бейтараптық принципін негіздеу оңай емес. Монеталар толық симметриялы емес. Біз әрбір жаққа тең ықтималдықтарды тағайындай аламыз ба? Біз кез келген нақты тәжірибеге тең ықтималдықтарды тағайындай аламыз ба? Бұл анықтама шектеулі болғанымен, оған үлкен сенім бар. Ықтималдық математикасының көп бөлігі осы қарапайым анықтама негізінде дамытылды. Ықтималдықтың баламалы түсіндірмелері (мысалы, жиіліктік және субъективтік) де мәселелерге тап болады. Математикалық ықтималдық теориясы абстракциямен айналысады, кез келген ықтималдық түсіндірілімінің шектеулерінен және философиялық қиындықтарынан қашып өтеді.
The definition is very limited. It says nothing about cases where no physical symmetry exists. Insurance premiums, for example, can only be rationally priced by measured rates of loss. It is not trivial to justify the principle of indifference except in the simplest and most idealized of cases (an extension of the problem limited definition). Coins are not truly symmetric. Can we assign equal probabilities to each side? Can we assign equal probabilities to any real world experience? However limiting, the definition is accompanied with substantial confidence. Much of the mathematics of probability was developed on the basis of this simplistic definition. Alternative interpretations of probability (for example frequentist and subjective) also have problems. Mathematical probability theory deals in abstractions, avoiding the limitations and philosophical complications of any probability interpretation.