Введение
Понятие в теории вероятности. Классическое определение или интерпретация вероятности связывается с работами Якоба Бернулли и Пьера Симона Лапласа. Как указано в "Théorie analytique des probabilités" Лапласа, вероятность события – это отношение числа благоприятных ему случаев к числу всех возможных случаев, при условии, что ничто не позволяет нам ожидать, что какой-либо из этих случаев произойдет чаще, чем любой другой, что делает их, с нашей точки зрения, равновероятными. Это определение по сути является следствием принципа безразличия. Если элементарным событиям присвоены равные вероятности, то вероятность дизъюнкции элементарных событий равна числу событий в дизъюнкции, деленному на общее число элементарных событий. Классическое определение вероятности подверглось критике со стороны ряда ученых девятнадцатого века, включая Джона Венна и Джорджа Буля. Фреквентистское определение вероятности получило широкое распространение в результате этой критики, и особенно благодаря работам Р. А. Фишера. Классическое определение пережило своего рода возрождение в связи с общим интересом к байесовской вероятности, поскольку байесовские методы требуют априорного распределения вероятностей, а принцип безразличия предлагает один из источников такого распределения. Классическая вероятность может предложить априорные вероятности, отражающие отсутствие информации, что часто представляется уместным перед проведением эксперимента.
The classical definition or interpretation of probability is identified with the works of Jacob Bernoulli and Pierre Simon Laplace. As stated in Laplace's Théorie analytique des probabilités,
The probability of an event is the ratio of the number of cases favorable to it, to the number of all cases possible when nothing leads us to expect that any one of these cases should occur more than any other, which renders them, for us, equally possible. This definition is essentially a consequence of the principle of indifference. If elementary events are assigned equal probabilities, then the probability of a disjunction of elementary events is just the number of events in the disjunction divided by the total number of elementary events. The classical definition of probability was called into question by several writers of the nineteenth century, including John Venn and George Boole. The frequentist definition of probability became widely accepted as a result of their criticism, and especially through the works of R. A. Fisher. The classical definition enjoyed a revival of sorts due to the general interest in Bayesian probability, because Bayesian methods require a prior probability distribution and the principle of indifference offers one source of such a distribution. Classical probability can offer prior probabilities that reflect ignorance which often seems appropriate before an experiment is conducted.
История
Как математическая дисциплина, теория вероятностей возникла довольно поздно — по сравнению с геометрией, например, несмотря на то, что у нас есть археологические свидетельства игры в кости в культурах по всему миру, восходящие к доисторическим временам. Одним из первых авторов, писавших о вероятности, был Джероламо Кардано. Вероятно, он сформулировал самое раннее известное определение классической вероятности. Систематическое развитие теории вероятностей началось в 1654 году, когда Блез Паскаль переписывался с другом своего отца, Пьером де Ферма, по поводу двух задач, связанных с азартными играми, о которых он узнал от Шевалье де Мере ранее в том же году, с которым Паскаль совершал поездку. Одной из задач была так называемая задача о точках — классическая проблема, которая уже тогда изучалась (Лука Пачоли рассматривал её ещё в 1494 году). Во время этой поездки они также обсуждали другие математические и философские вопросы, а также парадоксы, которые, по мнению Мере, укрепляли его общую философскую точку зрения. Паскаль, не соглашаясь с взглядом Мере на математику как на нечто прекрасное и безупречное, но слабо связанное с реальностью, решил доказать ошибочность Мере, решив эти две задачи в рамках чистой математики. Когда он узнал, что Ферма, уже признанный выдающимся математиком, пришёл к тем же выводам, он убедился, что они окончательно решили эти задачи. Эта переписка распространилась среди других учёных того времени, в частности, Гюйгенса, Роберваля и косвенно — Карамуэля.
Полвека спустя Якоб Бернулли продемонстрировал глубокое понимание теории вероятностей. Он владел методами перестановок и сочетаний, обсуждал понятие вероятности на примерах, выходящих за рамки классического определения (например, в контексте личных, судебных и финансовых решений), и показал, что вероятности можно оценивать путём многократных испытаний, при этом неопределённость уменьшается с увеличением числа испытаний. В 1765 году в «Энциклопедии» Дидро и д’Аламбера была опубликована обширная статья о теории вероятностей и обобщён обзор знаний, накопленных к тому времени. Проводилось различие между вероятностями, «вытекающими из рассмотрения самой природы» (физическими), и вероятностями, «основанными лишь на опыте прошлого, который позволяет нам уверенно делать выводы о будущем» (эмпирическими). Чёткое и устойчивое определение вероятности дал Лаплас. Ещё в 1814 году он утверждал:
«Это описание в конечном итоге привело к классическому определению вероятности». Лаплас опубликовал несколько изданий различных трудов (технических и научно-популярных) по теории вероятностей в течение полувека. Многие из его предшественников (Кардано, Бернулли, Байес) опубликовали лишь один труд, и то посмертно.
Критика
Классическое определение вероятности присваивает равные вероятности событиям, основываясь на физической симметрии, которая естественна для монет, карт и костей. Некоторые математики возражают, что это определение является круговым. Вероятность для "честной" монеты – это вероятность , а "честная" монета определяется вероятностью . Это определение очень ограничено. Оно ничего не говорит о случаях, когда физической симметрии не существует. Например, страховые премии могут быть рационально рассчитаны только на основе измеренных показателей убытков. Оправдать принцип безразличия, за исключением самых простых и идеализированных случаев (расширение проблемы ограниченного определения), – нетривиальная задача. Монеты не являются идеально симметричными. Можем ли мы присвоить равные вероятности каждой стороне? Можем ли мы присвоить равные вероятности любому опыту в реальном мире? Несмотря на свои ограничения, это определение пользуется значительным доверием. Большая часть математики теории вероятностей была разработана на основе этого упрощенного определения. Альтернативные интерпретации вероятности (например, частотная и субъективная) также имеют свои недостатки. Математическая теория вероятностей имеет дело с абстракциями, избегая ограничений и философских сложностей, связанных с любой интерпретацией вероятности.
The definition is very limited. It says nothing about cases where no physical symmetry exists. Insurance premiums, for example, can only be rationally priced by measured rates of loss. It is not trivial to justify the principle of indifference except in the simplest and most idealized of cases (an extension of the problem limited definition). Coins are not truly symmetric. Can we assign equal probabilities to each side? Can we assign equal probabilities to any real world experience? However limiting, the definition is accompanied with substantial confidence. Much of the mathematics of probability was developed on the basis of this simplistic definition. Alternative interpretations of probability (for example frequentist and subjective) also have problems. Mathematical probability theory deals in abstractions, avoiding the limitations and philosophical complications of any probability interpretation.