Кіріспе
Математикалық талдауда сабақтастықтың модулі – функцияның бірыңғай сабақтастығын сандық түрде өлшеу үшін қолданылатын ω: [0, ∞] → [0, ∞] функциясы. Сондықтан, f: I → R функциясы ω-ны сабақтастықтың модулі ретінде қабылдайды, егер және тек қана егер f доменіндегі барлық x және y үшін
for all x and y in the domain of f. Since moduli of continuity are required to be infinitesimal at 0, a function turns out to be uniformly continuous if and only if it admits a modulus of continuity. Moreover, relevance to the notion is given by the fact that sets of functions sharing the same modulus of continuity are exactly equicontinuous families. For instance, the modulus ω(t) := kt describes the k Lipschitz functions, the moduli ω(t) := ktα describe the Hölder continuity, the modulus ω(t) := kt(|log t|+1) describes the almost Lipschitz class, and so on. In general, the role of ω is to fix some explicit functional dependence of ε on δ in the (ε, δ) definition of uniform continuity. The same notions generalize naturally to functions between metric spaces. Moreover, a suitable local version of these notions allows to describe quantitatively the continuity at a point in terms of moduli of continuity. A special role is played by concave moduli of continuity, especially in connection with extension properties, and with approximation of uniformly continuous functions. For a function between metric spaces, it is equivalent to admit a modulus of continuity that is either concave, or subadditive, or uniformly continuous, or sublinear (in the sense of growth). Actually, the existence of such special moduli of continuity for a uniformly continuous function is always ensured whenever the domain is either a compact, or a convex subset of a normed space. However, a uniformly continuous function on a general metric space admits a concave modulus of continuity if and only if the ratios
are uniformly bounded for all pairs (x, x′) bounded away from the diagonal of X x X. The functions with the latter property constitute a special subclass of the uniformly continuous functions, that in the following we refer to as the special uniformly continuous functions. Real valued special uniformly continuous functions on the metric space X can also be characterized as the set of all functions that are restrictions to X of uniformly continuous functions over any normed space isometrically containing X. Also, it can be characterized as the uniform closure of the Lipschitz functions on X.
орындалса. Сабақтастықтың модульдері 0-де инфинитезимальды болуы керек болғандықтан, функция біркелкі сабақтас модульді қабылдаса ғана біркелкі сабақтас болып шығады. Сонымен қатар, бұл ұғымның маңыздылығы сол фактіде, яғни бірдей сабақтастық модуліне ие функциялар жиыны дәл тең біркелкі сабақтас отбасы болып табылады. Мысалы, ω(t) := kt модулі k-Липшиц функцияларын сипаттайды, ω(t) := ktα модулі Hölder сабақтастығын сипаттайды, ω(t) := kt(|log t|+1) модулі дерлік Липшиц класын сипаттайды, және т.б. Жалпы, ω-ның рөлі – біркелкі сабақтастықтың (ε, δ) анықтамасындағы ε-ның δ-ға қатысты белгілі бір функционалдық тәуелділігін белгілеу. Осы ұғымдар метрикалық кеңістіктер арасындағы функцияларға табиғи түрде жалпыланады. Сонымен қатар, осы ұғымдардың жергілікті нұсқасы сабақтастық модульдері арқылы бір нүктедегі сабақтастықты сандық түрде сипаттауға мүмкіндік береді. Сабақтастықтың қуыс модульдері, әсіресе, кеңейту қасиеттерімен және біркелкі сабақтас функцияларды жуықтаумен байланысты ерекше рөл атқарады. Метрикалық кеңістіктер арасындағы функция үшін, конкавты, немесе субадитивті, немесе біркелкі сабақтас, немесе сублинеарлық (өсу мағынасында) сабақтастық модулін қабылдау эквивалентті. Шындығында, біркелкі сабақтас функция үшін мұндай арнайы сабақтастық модульдерінің болуы домен нормаланған кеңістіктің компактты немесе дөңес жиыны болған жағдайда әрқашан қамтамасыз етіледі. Алайда, жалпы метрикалық кеңістіктегі біркелкі сабақтас функция конкавты сабақтастық модулін қабылдайды, егер және тек егер қатынастар X x X диагоналінен жеткілікті алыс орналасқан барлық (x, x') жұптары үшін біркелкі шектелген болса. Соңғы қасиетке ие функциялар біркелкі сабақтас функциялардың ерекше кіші класын құрайды, оны бұдан әрі арнайы біркелкі сабақтас функциялар деп атаймыз. Метрикалық кеңістіктегі нақты мәнді арнайы біркелкі сабақтас функциялар X-ті изометриялық түрде қамтитын кез келген нормаланған кеңістіктегі біркелкі сабақтас функциялардың X-ке шектелуі ретінде сипатталуы мүмкін. Сондай-ақ, оны X-тегі Липшиц функцияларының біркелкі жабылуы ретінде сипаттауға болады.
for all x and y in the domain of f. Since moduli of continuity are required to be infinitesimal at 0, a function turns out to be uniformly continuous if and only if it admits a modulus of continuity. Moreover, relevance to the notion is given by the fact that sets of functions sharing the same modulus of continuity are exactly equicontinuous families. For instance, the modulus ω(t) := kt describes the k Lipschitz functions, the moduli ω(t) := ktα describe the Hölder continuity, the modulus ω(t) := kt(|log t|+1) describes the almost Lipschitz class, and so on. In general, the role of ω is to fix some explicit functional dependence of ε on δ in the (ε, δ) definition of uniform continuity. The same notions generalize naturally to functions between metric spaces. Moreover, a suitable local version of these notions allows to describe quantitatively the continuity at a point in terms of moduli of continuity. A special role is played by concave moduli of continuity, especially in connection with extension properties, and with approximation of uniformly continuous functions. For a function between metric spaces, it is equivalent to admit a modulus of continuity that is either concave, or subadditive, or uniformly continuous, or sublinear (in the sense of growth). Actually, the existence of such special moduli of continuity for a uniformly continuous function is always ensured whenever the domain is either a compact, or a convex subset of a normed space. However, a uniformly continuous function on a general metric space admits a concave modulus of continuity if and only if the ratios
are uniformly bounded for all pairs (x, x′) bounded away from the diagonal of X x X. The functions with the latter property constitute a special subclass of the uniformly continuous functions, that in the following we refer to as the special uniformly continuous functions. Real valued special uniformly continuous functions on the metric space X can also be characterized as the set of all functions that are restrictions to X of uniformly continuous functions over any normed space isometrically containing X. Also, it can be characterized as the uniform closure of the Lipschitz functions on X.
Бастапқы деректер
Егер f функциясының үздіксіздік модулі ω болса және ω1 ≥ ω болса, онда f функциясы ω1 модулін де қабылдайды. Егер f: X → Y және g: Y → Z функциялары метрикалық кеңістіктер арасындағы функциялар болса, онда композициялық функцияның үздіксіздік модулі болады. Егер f және g функциялары метрикалық кеңістік X-тен Банах кеңістігі Y-ге сәйкесінше ω1 және ω2 үздіксіздік модульдерімен берілсе, онда кез келген сызықтық комбинация af+bg функциясының үздіксіздік модулі |a|ω1+|b|ω2 болады. Атап айтқанда, X-тен Y-ге дейінгі функциялардың барлық жиыны, олардың үздіксіздік модулі ω болса, C(X, Y) векторлық кеңістігінің дөңгелек жиыны болып табылады және нүктелік жақындасу бойынша жабық. Егер f және g функциялары метрикалық кеңістіктегі нақты мәнді функциялар болса, онда fg нүктелік көбейтіндісінің үздіксіздік модулі болады. Егер f метрикалық кеңістіктегі нақты мәнді функциялардың жиыны болса және олардың барлығының ортақ үздіксіздік модулі ω болса, онда төменгі қабықша және жоғарғы қабықша нақты мәнді функциялар болып табылады, олардың үздіксіздік модулі ω-ға тең, егер олар әрбір нүктеде шекті мәнге ие болса. Егер ω нақты мәнді болса, онда қабықшаның кем дегенде X кеңістігінің бір нүктесінде шекті болуы жеткілікті.
Ескертпелер
Кейбір авторлар монотондылықты талап етпейді, ал кейбіреулері ω үздіксіз болуы сияқты қосымша қасиеттерді талап етеді. Дегенмен, егер f әлсіз анықтама бойынша сабақтастық модулін қабылдаса, онда ол (0, ∞) аралығында өсетін және шексіз дифференциалданатын сабақтастық модулін де қабылдайды. Мысалы, өседі, және ω1 ≥ ω; сондай-ақ, үздіксіз, және ω2 ≥ ω1, ал алдыңғы анықтаманың сәйкес түрі ω2-ні [0, ∞] аралығында шексіз дифференциалданатын етеді. Кез келген біркелкі үздіксіз функция минималды сабақтастық модулін ωf қабылдайды, ол кейде f функциясының (оптималды) сабақтастық модулі деп аталады: Сол сияқты, кез келген x нүктесінде үздіксіз функция x-те минималды сабақтастық модулін ωf(t; x) (f функциясының x нүктесіндегі (оптималды) сабақтастық модулі) қабылдайды: Дегенмен, бұл шектеулі ұғымдар аса маңызды емес, себебі көп жағдайларда f функциясының оптималды сабақтастық модулі нақты есептелмейді, тек жоғарыдан шектеледі (f функциясының кез келген сабақтастық модулімен). Сонымен қатар, сабақтастық модульдерінің негізгі қасиеттері тікелей шектеусіз анықтамаға қатысты. Жалпы, метрикалық кеңістіктегі біркелкі үздіксіз функцияның сабақтастық модулі +∞ мәнін қабылдауы керек. Мысалы, f: N → R функциясы, мұнда f(n) := n2, N-дегі дискретті метрикаға қатысты біркелкі үздіксіз, ал оның минималды сабақтастық модулі кез келген t≥1 үшін ωf(t) = +∞, ал басқа жағдайларда ωf(t) = 0 тең болады. Алайда, нормаланған кеңістіктердің жиынтық немесе дөңгелек жиынтықтарында анықталған біркелкі үздіксіз функциялар үшін жағдай өзгеше.
Липшицтен алынған сызықтық модульдер мен шектелген тербелістер
Липшиц функциясының шектелген бұзылысы болып табылатын кез келген біркелкі үздіксіз функция үшін, үздіксіздіктің төмен сызықтық модулін оңай табуға болады: егер f үздіксіздік модулі ω бар біркелкі үздіксіз функция болса, ал g – f-тен біркелкі қашықтығы r болатын k-Липшиц функциясы болса, онда f төмендегі үздіксіздік модулін қабылдайды: min{ω(t), 2r+kt}. Керісінше, кем дегенде нақты мәнді функциялар үшін, кез келген ерекше біркелкі үздіксіз функция, кейбір Липшиц функциясының шектелген, біркелкі үздіксіз бұзылысы болып табылады; шындығында, төменде көрсетілгендей, одан да көп нәрсе дұрыс (Липшиц жуықтауы).
Субдитив модульдері және кеңейтушілік
Жоғарыда көрсетілген конвекс домендердегі біркелкі үздіксіз функцияның қасиеттері, кем дегенде нақты мәнді функциялар жағдайында, кері теоремаға ие: яғни, кез келген ерекше біркелкі үздіксіз нақты мәнді f: X → R функциясы, метрикалық кеңістік X-те анықталған және нормаланған кеңістік E-тің метрикалық кіші кеңістігі болатын, f-дің кез келген қосалқы аддитивті модулін сақтайтын E кеңістігіне кеңейтіледі. Мұндай кеңейтулердің ең кішісі және ең үлкені сәйкесінше:
Жоғарыда айтылғандай, кез келген қосалқы аддитивті үздіксіздік модулі біркелкі үздіксіз болады: шын мәнінде, ол өзінің үздіксіздік модулі ретінде қолданылады. Сондықтан, f∗ және f* – ω үздіксіз отбасылардың төменгі және жоғарғы қабықтары; демек, әлі де ω үздіксіз. Сонымен қатар, Куратовскийдің ендіруіне сәйкес, кез келген метрикалық кеңістік нормаланған кеңістіктің кіші жиынына изометриялық түрде бейнеленеді. Сондықтан, ерекше біркелкі үздіксіз нақты мәнді функциялар, негізінен, нормаланған кеңістіктердегі біркелкі үздіксіз функциялардың шектеулері болып табылады. Атап айтқанда, бұл құрылымдық тәсіл компактты метрикалық кеңістіктердегі Тиец кеңейту теоремасын тез дәлелдеуге мүмкіндік береді. Дегенмен, R-ден өзге жалпы Банах кеңістіктеріндегі мәндері бар функциялар үшін жағдай әлдеқайда күрделі; бұл бағыттағы алғашқы маңызды нәтиже – Кирсбраун теоремасы.
Пайдалану үлгілері
f: [a, b] → R үздіксіз функция болсын. f Риман интегралданатындығын дәлелдеуде, әдетте, Риман бөлінісі P := {t0, ..., tn} бойынша жоғары және төменгі Риман сомалары арасындағы айырманы, f функциясының үздіксіздік модулі және P бөлінісінің қадамы (яғни, ең ірі аралық ұзындығы) арқылы бағалайды. Фурье қатарларында қолданылуының мысалы үшін Дини сынағына қараңыз.
For an example of use in the Fourier series, see Dini test.
Тарих
Steffens (2006, 160 б.) үздіксіздік модулі үшін омеганың алғашқы қолданылуын Лебегке (1909, 309/75 б.) жатқызады, онда омега Фурье түрлендірілімінің тербелісін көрсетеді. Де ла Валле Пуссен (1919, 7-8 бб.) екі атауды да айтады: (1) «үздіксіздік модулі» және (2) «тербеліс модулі», содан кейін «біз оны қалай қолданатынымызды көрсету үшін (1) атауын таңдаймыз» деп қорытындылайды.