Введение

В математическом анализе модуль непрерывности — это функция ω : [0, ∞] → [0, ∞], используемая для количественной оценки равномерной непрерывности функций. Таким образом, функция f : I → R допускает ω в качестве модуля непрерывности тогда и только тогда, когда

для всех x и y из области определения f. Поскольку модули непрерывности должны стремиться к нулю при 0, функция оказывается равномерно непрерывной тогда и только тогда, когда она допускает модуль непрерывности. Более того, значимость этого понятия обусловлена тем фактом, что множества функций, имеющих один и тот же модуль непрерывности, являются точно равнонепрерывными семействами. Например, модуль ω(t) := kt описывает k-липшицевы функции, модули ω(t) := ktα описывают непрерывность Гельдера, модуль ω(t) := kt(|log t|+1) описывает почти липшицевый класс и так далее. В общем случае, роль ω заключается в установлении некоторой явной функциональной зависимости ε от δ в (ε, δ)-определении равномерной непрерывности. Те же понятия естественным образом обобщаются на функции между метрическими пространствами. Кроме того, подходящая локальная версия этих понятий позволяет количественно описать непрерывность в точке с помощью модулей непрерывности. Особую роль играют вогнутые модули непрерывности, особенно в связи со свойствами расширения и с приближением равномерно непрерывных функций. Для функции между метрическими пространствами это эквивалентно допущению модуля непрерывности, который является либо вогнутым, либо субаддитивным, либо равномерно непрерывным, либо сублинейным (в смысле роста). Фактически, существование таких специальных модулей непрерывности для равномерно непрерывной функции всегда гарантируется, когда область определения является либо компактным, либо выпуклым подмножеством нормированного пространства. Однако, равномерно непрерывная функция на общем метрическом пространстве допускает вогнутый модуль непрерывности тогда и только тогда, когда отношения

равномерно ограничены для всех пар (x, x′), удаленных от диагонали X x X. Функции, обладающие последним свойством, составляют специальный подкласс равномерно непрерывных функций, которые мы в дальнейшем будем называть специальными равномерно непрерывными функциями. Функции со значениями в вещественных числах, являющиеся специальными равномерно непрерывными на метрическом пространстве X, также могут быть охарактеризованы как множество всех функций, являющихся ограничениями на X равномерно непрерывных функций на любом нормированном пространстве, изометрически содержащем X. Также это может быть охарактеризовано как равномерное замыкание липшицевых функций на X.

Элементарные факты

Если функция f имеет ω в качестве модуля непрерывности и ω1 ≥ ω, то f также допускает ω1 в качестве модуля непрерывности. Если f : X → Y и g : Y → Z – функции между метрическими пространствами с модулями соответственно ω1 и ω2, то композиция функций имеет модуль непрерывности. Если f и g – функции из метрического пространства X в банахово пространство Y с модулями соответственно ω1 и ω2, то любая линейная комбинация af + bg имеет модуль непрерывности |a|ω1 + |b|ω2. В частности, множество всех функций из X в Y, имеющих ω в качестве модуля непрерывности, является выпуклым подмножеством векторного пространства C(X, Y), замкнутым относительно поточечного сходимости. Если f и g – ограниченные вещественнозначные функции на метрическом пространстве X с модулями соответственно ω1 и ω2, то их поточечное произведение fg имеет модуль непрерывности. Если – семейство вещественнозначных функций на метрическом пространстве X с общим модулем непрерывности ω, то нижняя огибающая , соответственно, верхняя огибающая , является вещественнозначной функцией с модулем непрерывности ω, при условии, что она конечнозначна в каждой точке. Если ω – вещественнозначная функция, достаточно, чтобы огибающая была конечной хотя бы в одной точке X.

Замечания

Некоторые авторы не требуют монотонности, а некоторые требуют дополнительных свойств, таких как непрерывность ω. Однако, если функция f допускает модуль непрерывности в более слабом определении, то она также допускает модуль непрерывности, который возрастает и бесконечно дифференцируем на (0, ∞). Например, возрастает, и ω1 ≥ ω; также непрерывна, и ω2 ≥ ω1, и подходящий вариант предыдущего определения также делает ω2 бесконечно дифференцируемой на [0, ∞). Любая равномерно непрерывная функция допускает минимальный модуль непрерывности ωf, который иногда называют (оптимальным) модулем непрерывности функции f: Аналогично, любая функция, непрерывная в точке x, допускает минимальный модуль непрерывности в точке x, ωf(t; x) (оптимальный модуль непрерывности функции f в точке x): Однако эти ограниченные понятия не столь существенны, поскольку в большинстве случаев оптимальный модуль для f нельзя вычислить явно, а можно лишь оценить сверху (любым модулем непрерывности для f). Более того, основные свойства модулей непрерывности непосредственно относятся к неограниченному определению. В общем случае, модуль непрерывности равномерно непрерывной функции на метрическом пространстве должен принимать значение +∞. Например, функция f: N → R, такая что f(n) := n2, является равномерно непрерывной относительно дискретной метрики на N, и её минимальный модуль непрерывности равен ωf(t) = +∞ для любого t ≥ 1, и ωf(t) = 0 в противном случае. Однако ситуация иная для равномерно непрерывных функций, определенных на компактных или выпуклых подмножествах нормированных пространств.

Сублинейные модули и ограниченные возмущения из Липшица

Сублинеарный модуль непрерывности можно легко найти для любой равномерно непрерывной функции, являющейся ограниченным возмущением липшицевой функции: если f — равномерно непрерывная функция с модулем непрерывности ω, а g — липшицева функция с коэффициентом k и равномерным расстоянием r от f, то для f существует сублинеарный модуль непрерывности min{ω(t), 2r+kt}. Обратно, по крайней мере для функций вещественного значения, любая "хорошая" равномерно непрерывная функция является ограниченным, равномерно непрерывным возмущением некоторой липшицевой функции; более того, верно следующее, как показано ниже (липшицево приближение).

Субъдитивные модули и расширяемость

Вышеупомянутое свойство для равномерно непрерывных функций на выпуклых областях допускает своего рода обратное утверждение, по крайней мере, в случае функций с вещественными значениями: а именно, любая специальная равномерно непрерывная функция с вещественными значениями f : X → R, определенная на метрическом пространстве X, являющемся метрическим подпространством нормированного пространства E, допускает расширения на E, сохраняющие любой субаддитивный модуль ω функции f. Наименьшее и наибольшее из таких расширений соответственно:

Как отмечалось, любой субаддитивный модуль непрерывности является равномерно непрерывным: фактически, он сам может служить модулем непрерывности. Следовательно, f∗ и f* являются соответственно нижней и верхней огибающими ω-непрерывных семейств; таким образом, они также ω-непрерывны. Кстати, благодаря вложению Куратовского любое метрическое пространство изометрично подмножеству нормированного пространства. Следовательно, специальные равномерно непрерывные функции с вещественными значениями по существу являются ограничениями равномерно непрерывных функций на нормированных пространствах. В частности, эта конструкция предоставляет быстрое доказательство теоремы Тице о расширении на компактных метрических пространствах. Однако для отображений со значениями в более общих банаховых пространствах, чем R, ситуация значительно сложнее; первым нетривиальным результатом в этом направлении является теорема Киршбрауна.

Примеры использования

Пусть f : [a, b] → R — непрерывная функция. В доказательстве того, что f является интегрируемой по Риману, обычно оценивают расстояние между верхней и нижней суммами Римана относительно риманова разбиения P := {t₀, ..., tₙ} через модуль непрерывности функции f и ширину разбиения P (которая является числом).
Для примера использования в рядах Фурье см. критерий Дини.

История

Стеффенс (2006, с. 160) приписывает первое использование символа "омега" для обозначения модуля непрерывности Лебегу (1909, с. 309/с. 75), где "омега" обозначает колебание преобразования Фурье. Де ла Валле Пуссен (1919, с. 7–8) упоминает оба термина: (1) "модуль непрерывности" и (2) "модуль колебания", а затем заключает: "но мы выбираем термин (1), чтобы подчеркнуть то значение, в котором будем использовать его далее".