Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада қайталанбайтындық ұғымы бірнеше түрлі қолданылады. Егер ол сол өрісте көбейтілмесе, өрістегі полином қайталанбайтын полином болуы мүмкін. Абстрактілік алгебрада, қайталанбайтын элемент – интегралды доменнің қайталанбайтын элементінің қысқартылған түрі болуы мүмкін, мысалы, қайталанбайтын полином. Өкілдік теориясында қайталанбайтын өкілдік – бұл тривиальды емес өкілдік, онда тривиальды емес ішкі өкілдіктер жоқ. Сол сияқты, қайталанбайтын модуль – қарапайым модульдің тағы бір атауы. Абсолютті түрде азайтылмайтын – коэффициенттер өрісінің кез келген шекті кеңейтімінен кейін де азайтылмайтындығын білдіретін термин. Ол әртүрлі жағдайларда қолданылады, мысалы, сызықтық өкілдіктің немесе алгебралық санның қайталанбайтындығы; алгебралық жабылуда қайталанбайтын деген мағынаны білдіреді. Коммутативтік алгебрада, R коммутативтік сақинасы, егер оның жай спектрі, яғни Spec R топологиялық кеңістігі, қайталанбайтын топологиялық кеңістік болса, қайталанбайды. Матрица, егер ол бір пермутация арқылы жоғарғы үшбұрышты блок матрицаға (оң өлшемді блоктары бірден көп болса) тең болмаса, қайталанбайды. (Матрицадағы нөлдік емес элементтерді бірге алмастырып, матрицаны бағытталған графтың жабыстық матрицасы ретінде қарастырғанда, матрица қайталанбайды, егер және тек қана егер мұндай бағытталған граф берік байланысқан болса.) Толық анықтамасы осында берілген. Сондай-ақ, Марков тізбегі, егер кез келген күйден кез келген басқа күйге өтудің нөлдік емес ықтималдығы болса (бірнеше қадамда болса да), қайталанбайды. Манифольдтар теориясында, n манифольды, егер кез келген енгізілген (n-1) сфера енгізілген n шарды шектесе, қайталанбайды. Бұл анықтамада тиісті санатты қолдану қарастырылады, мысалы, дифференциалданатын манифольдтар немесе бөлік-сызықтық манифольдтар санаты. Алгебра мен манифольдтар теориясындағы қайталанбайтындық ұғымдары өзара байланысты. Егер n манифольды екі n манифольдының (олардың ешқайсысы да n сфера емес) байланысқан қосындысы ретінде жазылмаса, онда n манифольды жай деп аталады. Осылайша, қайталанбайтын манифольд жай болады, бірақ керісінше дұрыс емес. Алгебрашылардың пікірінше, жай манифольдтарды "қайталанбайтын" деп атау керек; алайда, тополог (әсіресе 3 манифольд топологы) жоғарыдағы анықтаманы тиімдірек деп санайды. Тығыз, байланысқан 3 манифольдтарының жай, бірақ қайталанбайтын түрлері – S1 үстіндегі 2 сфералық шоғыр және S1 үстіндегі бұрылған 2 сфералық шоғыр. Мысалы, 3 манифольдтың жай ыдырауына қараңыз. Топологиялық кеңістік, егер ол екі дұрыс жабық ішкі жиынның бірі болмаса, қайталанбайды. Бұл ұғым алгебралық геометрияда қолданылады, онда кеңістіктер Зариски топологиясымен жабдықталған; Хаусдорф кеңістіктері үшін бұл аса маңызды емес. Сондай-ақ, қайталанбайтын компонент, алгебралық сан қараңыз. Универсалды алгебрада, қайталанбайтын – алгебралық құрылымды өнім құрылымын пайдалана отырып, қарапайым құрылымдардың қосындысы ретінде бейнелеуге болмайтындығын білдіруі мүмкін, мысалы, тікелей қайталанбайтын. 3 манифольды P² қайталанбайтын, егер ол қайталанбайтын және 2 жақты (нақты проекциялық жазықтық) болмаса. Кемелсіз бөлшек (немесе ең төменгі мәндегі бөлшек) – бөлшектің алымы мен бөлімі басқа тең бөлшектердегіден кіші болатын бөлшек.
In mathematics, the concept of irreducibility is used in several ways. A polynomial over a field may be an irreducible polynomial if it cannot be factored over that field. In abstract algebra, irreducible can be an abbreviation for irreducible element of an integral domain; for example an irreducible polynomial. In representation theory, an irreducible representation is a nontrivial representation with no nontrivial proper subrepresentations. Similarly, an irreducible module is another name for a simple module. Absolutely irreducible is a term applied to mean irreducible, even after any finite extension of the field of coefficients. It applies in various situations, for example to irreducibility of a linear representation, or of an algebraic variety; where it means just the same as irreducible over an algebraic closure. In commutative algebra, a commutative ring R is irreducible if its prime spectrum, that is, the topological space Spec R, is an irreducible topological space. A matrix is irreducible if it is not similar via a permutation to a block upper triangular matrix (that has more than one block of positive size). (Replacing non zero entries in the matrix by one, and viewing the matrix as the adjacency matrix of a directed graph, the matrix is irreducible if and only if such directed graph is strongly connected.) A detailed definition is given here. Also, a Markov chain is irreducible if there is a non zero probability of transitioning (even if in more than one step) from any state to any other state. In the theory of manifolds, an n manifold is irreducible if any embedded (n − 1) sphere bounds an embedded n ball. Implicit in this definition is the use of a suitable category, such as the category of differentiable manifolds or the category of piecewise linear manifolds. The notions of irreducibility in algebra and manifold theory are related. An n manifold is called prime, if it cannot be written as a connected sum of two n manifolds (neither of which is an n sphere). An irreducible manifold is thus prime, although the converse does not hold. From an algebraist's perspective, prime manifolds should be called "irreducible"; however, the topologist (in particular the 3 manifold topologist) finds the definition above more useful. The only compact, connected 3 manifolds that are prime but not irreducible are the trivial 2 sphere bundle over S1 and the twisted 2 sphere bundle over S1. See, for example, Prime decomposition (3 manifold). A topological space is irreducible if it is not the union of two proper closed subsets. This notion is used in algebraic geometry, where spaces are equipped with the Zariski topology; it is not of much significance for Hausdorff spaces. See also irreducible component, algebraic variety. In universal algebra, irreducible can refer to the inability to represent an algebraic structure as a composition of simpler structures using a product construction; for example subdirectly irreducible. A 3 manifold is P² irreducible if it is irreducible and contains no 2 sided (real projective plane). An irreducible fraction (or fraction in lowest terms) is a vulgar fraction in which the numerator and denominator are smaller than those in any other equivalent fraction.