Введение

В математике понятие неразложимости используется несколькими способами. Многочлен над полем может быть неразложимым многочленом, если его нельзя разложить на множители над этим полем. В абстрактной алгебре, неразложимый может быть сокращением для неразложимого элемента целостного домена; например, неразложимый многочлен. В теории представлений, неразложимое представление — это нетривиальное представление, не имеющее нетривиальных собственных подпредставлений. Аналогично, нередуцируемый модуль — это другое название для простого модуля. Абсолютно неразложимый — термин, применяемый для обозначения неразложимости, даже после любого конечного расширения поля коэффициентов. Это применимо в различных ситуациях, например, к неразложимости линейного представления или алгебраического многообразия; где это означает то же самое, что и неразложимость над алгебраически замкнутым полем. В коммутативной алгебре, коммутативное кольцо R является неразложимым, если его спектр простых идеалов, то есть топологическое пространство Spec R, является неразложимым топологическим пространством. Матрица является неразложимой, если она не подобна посредством перестановочного преобразования блочно-верхней треугольной матрице (которая имеет более одного блока положительного размера). (Заменяя ненулевые элементы матрицы на единицу и рассматривая матрицу как матрицу смежности ориентированного графа, матрица является неразложимой тогда и только тогда, когда такой ориентированный граф сильно связен.) Подробное определение приведено здесь. Кроме того, марковская цепь является неразложимой, если существует ненулевая вероятность перехода (даже в несколько шагов) из любого состояния в любое другое состояние. В теории многообразий, n-многообразие является неразложимым, если любая вложенная (n-1)-сфера ограничивает вложенный n-шар. В этом определении подразумевается использование подходящей категории, такой как категория дифференцируемых многообразий или категория кусочно-линейных многообразий. Понятия неразложимости в алгебре и теории многообразий связаны. n-многообразие называется простым, если его нельзя представить как связную сумму двух n-многообразий (ни одно из которых не является n-сферой). Таким образом, неразложимое многообразие является простым, хотя обратное неверно. С точки зрения алгебраиста, простые многообразия следует называть «неразложимыми»; однако, тополог (в частности, тополог 3-многообразий) считает вышеуказанное определение более полезным. Единственными компактными, связными 3-многообразиями, которые являются простыми, но не неразложимыми, являются тривиальное расслоение 2-сферы над S¹ и скрученное расслоение 2-сферы над S¹. См., например, Prime decomposition (3 manifold). Топологическое пространство является неразложимым, если оно не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств. Это понятие используется в алгебраической геометрии, где пространства снабжены топологией Зариски; оно не имеет большого значения для пространств Хаусдорфа. См. также неразложимая компонента, алгебраическое многообразие. В универсальной алгебре, неразложимость может относиться к невозможности представить алгебраическую структуру как композицию более простых структур с использованием построения произведения; например, непосредственно неразложимость. 3-многообразие является P²-неразложимым, если оно неразложимо и не содержит 2-стороннюю (реальную проективную плоскость). Несократимая дробь (или дробь в наименьших членах) — это обыкновенная дробь, в которой числитель и знаменатель меньше, чем в любой другой эквивалентной дроби.