Нақты сандарға шексіздік нүктесі қосылуы туралы мақала. Проективті кеңейтілген нақты сызық, шексіздік нүктесінің қасиеттері мен қолданылуы. Математикалық талдау.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Нақты сандарға шексіздік нүктесі қосылған жағдай
Real numbers with an added point at infinity
Нақты анализде, проективті түрде кеңейтілген нақты түзу (немесе нақты түзудің бір нүктелік ықшамдалуы) – нақты сандар жиынының ∞ символымен белгіленген нүктемен кеңейтілуі болып табылады. Осылайша, бұл жиын стандартты арифметикалық операциялармен мүмкіндігінше кеңейтілген немесе болып табылады. Қосылған нүкте шексіздік нүктесі деп аталады, өйткені ол нақты түзудің екі басындағы жақын нүкте ретінде қарастырылады. Нақтырақ айтқанда, шексіздік нүктесі – абсолюттік мәндері өсіп, шексіз болатын нақты сандар тізбегінің лимиті. Проективті түрде кеңейтілген нақты түзуді үш нүктеге – 0, 1 және ∞ – нақты мәндер берілген нақты проективті түзумен сәйкестендіруге болады. Проективті түрде кеңейтілген нақты сандар түзуі +∞ және −∞ ерекшеленетін аффинативті түрде кеңейтілген нақты сандар түзуінен өзгеше.
In real analysis, the projectively extended real line (also called the one point compactification of the real line), is the extension of the set of the real numbers, , by a point denoted ∞. It is thus the set with the standard arithmetic operations extended where possible, or The added point is called the point at infinity, because it is considered as a neighbour of both ends of the real line. More precisely, the point at infinity is the limit of every sequence of real numbers whose absolute values are increasing and unbounded. The projectively extended real line may be identified with a real projective line in which three points have been assigned the specific values 0, 1 and ∞. The projectively extended real number line is distinct from the affinely extended real number line, in which +∞ and −∞ are distinct.
Анықталмаған арифметикалық операциялар
Келесі өрнектер нақты функциялардың лимиттерін ескере отырып түсіндірілмейді, және олардың ешбір анықтамасы стандартты алгебралық қасиеттердің жазбасын барлық анықталған жағдайларда өзгеріссіз сақтауға мүмкіндік бермейді. Сондықтан, олар анықталмайды: экспоненциалдық функцияны .
The following expressions cannot be motivated by considering limits of real functions, and no definition of them allows the statement of the standard algebraic properties to be retained unchanged in form for all defined cases. Consequently, they are left undefined:
The exponential function cannot be extended to .
Интервалдық арифметика
Интервалдық арифметика интервалдармен жұмыс істеуді кеңейтеді. Арифметикалық операцияның нәтижесі әрқашан интервал болады, егер бинарлық операцияға қатысқан интервалдарда қарама-қайшы мәндер болмаса, олар анықталмаған нәтижеге алып келеді. Атап айтқанда, кез келген үшін:
Interval arithmetic extends to from The result of an arithmetic operation on intervals is always an interval, except when the intervals with a binary operation contain incompatible values leading to an undefined result. In particular, we have, for every :
интервалдың біреуі 0 және ∞ сандарын қамтитындығына қарамастан.
irrespective of whether either interval includes 0 and ∞.
Калькулус
Калькульдің құралдары функцияларды талдау үшін қолданылуы мүмкін. Анықтамалар осы кеңістіктің топологиясымен түсіндіріледі.
The tools of calculus can be used to analyze functions of The definitions are motivated by the topology of this space.
Көршіліктер
Берілсін және A, егер A, x-ті қамтитын B ашық аралығын қамтитын болса, x-тің көршілес аймағы болады. A, егер y нақты сан болса және A, жартылай ашық аралықты қамтитын болса, x-тің оң жақты көршілігі болады. A, егер y нақты сан болса және A, жартылай ашық аралықты қамтитын болса, x-тің сол жақты көршілігі болады. A, егер және A, x-тің көршілес аймағы болса (сәйкесінше, оң жақты немесе сол жақты көршілігі), x-тің тесілген көршілігі (немесе оң жақты немесе сол жақты тесілген көршілігі) болады.
Let and A is a neighbourhood of x, if A contains an open interval B that contains x. A is a right sided neighbourhood of x, if there is a real number y such that and A contains the semi open interval A is a left sided neighbourhood of x, if there is a real number y such that and A contains the semi open interval A is a punctured neighbourhood (resp. a right sided or a left sided punctured neighbourhood) of x, if and is a neighbourhood (resp. a right sided or a left sided neighbourhood) of x.
Жобалау диапазоны ретінде
Нақты проекциялық сызық нақты проекциялық жазықтық аясында қарастырылғанда, Десарг теоремасының салдары айқын көрінеді. Әсіресе, нүктелер арасындағы проективті гармоникалық қосымша қатынастың құрылысы нақты проекциялық сызықтың құрылымының бір бөлігі болып табылады. Мысалы, кез келген екі нүкте берілген болса, шексіз нүкте олардың ортасының проективті гармоникалық қосымшасы болады. Проекциялар гармоникалық қатынасты сақтайды, сондықтан олар нақты проекциялық сызықтың автоморфизмдерін құрайды. Проекциялар алгебралық тұрғыдан гомографиялар ретінде сипатталады, себебі нақты сандар сақинаны құрайды, проекциялық сызықтың сақина үстіндегі жалпы құрылысына сәйкес. Олар бірігіп PGL(2, R) тобын құрайды. Өзіне кері болатын проекциялар инволюция деп аталады. Гиперболалық инволюцияның екі бекітілген нүктесі бар. Олардың екеуі нақты проекциялық сызықтағы элементарлы арифметикалық операцияларға сәйкес келеді: терістеу және бөлгішпен алмастыру. Расында, 0 және ∞ терістеу кезінде, ал 1 және −1 бөлгішпен алмастыру кезінде өзгермейді.
When the real projective line is considered in the context of the real projective plane, then the consequences of Desargues' theorem are implicit. In particular, the construction of the projective harmonic conjugate relation between points is part of the structure of the real projective line. For instance, given any pair of points, the point at infinity is the projective harmonic conjugate of their midpoint. As projectivities preserve the harmonic relation, they form the automorphisms of the real projective line. The projectivities are described algebraically as homographies, since the real numbers form a ring, according to the general construction of a projective line over a ring. Collectively they form the group PGL(2, R). The projectivities which are their own inverses are called involutions. A hyperbolic involution has two fixed points. Two of these correspond to elementary, arithmetic operations on the real projective line: negation and reciprocation. Indeed, 0 and ∞ are fixed under negation, while 1 and −1 are fixed under reciprocation.