Введение

Реальные числа с добавленной точкой в бесконечности

В реальном анализе проективно расширенная вещественная прямая (также называемая одноточечной компактификацией вещественной прямой) представляет собой расширение множества вещественных чисел, ℝ, точкой, обозначаемой ∞. Таким образом, это множество ℝ ∪ {∞} со стандартными арифметическими операциями, расширенными, где это возможно. Добавленная точка называется точкой в бесконечности, поскольку она рассматривается как предел любой последовательности вещественных чисел, абсолютные значения которых возрастают неограниченно. Проективно расширенная вещественная прямая может быть отождествлена с вещественной проективной прямой, в которой трем точкам присвоены конкретные значения 0, 1 и ∞. Проективно расширенная вещественная прямая отличается от аффинно расширенной вещественной прямой, в которой +∞ и −∞ рассматриваются как различные точки.

Арифметические операции, которые остаются неопределенными

Следующие выражения нельзя обосновать, рассматривая пределы вещественных функций, и никакое их определение не позволяет сохранить форму утверждений стандартных алгебраических свойств неизменной для всех определенных случаев. Следовательно, они остаются не определенными: экспоненциальную функцию нельзя расширить на .

Интервальная арифметика

Интервальная арифметика распространяется на от. Результатом арифметической операции над интервалами всегда является интервал, за исключением случаев, когда интервалы, участвующие в бинарной операции, содержат несовместимые значения, приводящие к неопределенному результату. В частности, для любого :

независимо от того, содержит ли какой-либо из интервалов 0 и ∞.

Калькуляция

Инструменты математического анализа могут быть использованы для анализа функций. Определения мотивированы топологией этого пространства.

Районы

Пусть и A является окрестностью x, если A содержит открытый интервал B, содержащий x. A является правосторонней окрестностью x, если существует действительное число y, такое что и A содержит полуоткрытый интервал . A является левосторонней окрестностью x, если существует действительное число y, такое что и A содержит полуоткрытый интервал . A является проколотой окрестностью (соответственно, правосторонней или левосторонней проколотой окрестностью) x, если и является окрестностью (соответственно, правосторонней или левосторонней окрестностью) x.

Как проективный диапазон

Когда реальная проективная прямая рассматривается в контексте реальной проективной плоскости, следствия теоремы Дезарга становятся неявными. В частности, построение проективно гармонически сопряженной точки является частью структуры реальной проективной прямой. Например, для любой пары точек точка на бесконечности является проективно гармонически сопряженной их середине. Поскольку проективные преобразования сохраняют гармоническое отношение, они образуют автоморфизмы реальной проективной прямой. Проективные преобразования алгебраически описываются как гомографии, поскольку действительные числа образуют кольцо, согласно общему построению проективной прямой над кольцом. Все вместе они образуют группу PGL(2, R). Проективные преобразования, являющиеся обратными сами себе, называются инволюциями. Гиперболическая инволюция имеет две неподвижные точки. Две из них соответствуют элементарным арифметическим операциям на реальной проективной прямой: смене знака и взятию обратной величины. Действительно, 0 и ∞ остаются неподвижными при смене знака, а 1 и −1 – при взятии обратной величины.