Математикалық терминдер мен фразалар жинағысы

Кіріспе

Математика салаларында жиі қолданылатын фразалар жинағы.

Математика тілінде мамандық және техникалық терминдердің кең сөздігі бар. Сонымен қатар, белгілі бір жаргон да бар: математика мәдениетінің бөлігі болып табылатын, бірақ пәннің емес, жиі қолданылатын фразалар. Жаргон көбінесе лекцияларда және кейде басылымдарда қатаң дәлелдердің немесе нақты идеялардың бейресми қысқартылған түрі ретінде пайда болады. Бұл фразалардың көпшілігі жалпы ағылшын тілінде қолданылатын сөздер, бірақ математикалық контексте қолданғанда олардың мағынасы түсініксіз болуы мүмкін. Кейбір фразалар, мысалы "жалпы алғанда", бірнеше бөлімде кездеседі.

Сипаттамалық ақпарат

Әлдебір математикалық дәлелдің соңында жоғары дәлдік стандартына сай болуы керек болса да, математиктер қайталамалы тақырыптарды немесе ұғымдарды күрделі формальды тұжырымдамалармен талқылау үшін сипаттамалық, бірақ бейресми тұжырымдамаларды қолданады. Көптеген терминдер контекст бойынша толыққанды қатаң екенін ескеріңіз. "Нөлдік өлшем жиынынан басқа барлығы" деген қысқарту, егер өлшем болса. Мысалы, "нақты сандардың дерлік барлығы трансцендентті", себебі алгебралық нақты сандар нақты сандардың нөлдік өлшемді саналатын ішкі жиынын құрайды. Сондай-ақ, "бүтін сандардың дерлік барлығы" дегеніміз "шекті көптен басқа барлығы", бірақ бүтін сандар бұл қолданысқа сәйкес өлшемді қабылдамайды. Мысалы, "жақсы сандардың дерлік барлығы тақ". Басқа мақалада талқыланған бүтін сандардың да күрделі мағынасы бар. Сонымен қатар, бұл термин кейде жалпылама қолданылады. Кездейсоқ үлкен мәндер шектер контекстінде туындайтын ұғымдар, шекке жақындағанда құбылыстың қайталануын көрсетеді. P предикаты кездейсоқ үлкен мәндермен қанағаттандырылатын болса, формальды түрде ∀x: ∃y ≥ x: P(y) деп жазуға болады. Сондай-ақ, жиі қараңыз. f(x) шамасы x-ке тәуелді, кездейсоқ үлкен болуы мүмкін, бұл ∀y: ∃x: f(x) ≥ y арқылы көрсетіледі. әмбебап сандық көрсеткіштің қысқартылған түрі – "кәдімгі". Кездейсоқ таңдау – шектеусіз жасалған таңдау, немесе жиынның кез келген элементі үшін тұжырым дұрыс болса, жиынның кез келген элементіне қатысты тұжырым. Математиктер арасында жиі қолданылады: "Әрине, бұл мәселе кез келген күрделі болуы мүмкін". "Кейін" шектер контекстінде, жеткілікті үлкен аргументтер үшін қысқарту; тиісті аргументтер контекстте жасырын. Мысалы, log(log(x)) функциясы кейін 100-ден үлкен болады; бұл жағдайда "кейін" дегеніміз "жеткілікті үлкен x үшін". Категория теориясындағы морфизмдердің құрамына қатысты термин – "фактор арқылы". Егер үш объекті үшін A, B және C картаны f = g ∘ h түрінде жазуға болады, онда f кез келген (және барлық) g және h арқылы факторланады деп айтылады. Өзгергіштің мәні оң емес кеңейтілген нақты сандардан алынса, мағынасы әдетте "шексіз емес". Мысалы, кездейсоқ айнымалының дисперсиясы шекті болса, бұл оның оң емес нақты сан екенін, мүмкін нөл екенін білдіреді. Бірақ кейбір жағдайларда, мысалы, "кішкентай, бірақ шекті амплитудада", нөл және шексіз кішіліктер алынып тасталады. Өркендірілген натурал сандардан мәндерді қабылдап, өзгергіш мән туралы айтылғанда, мағынасы "шексіз емес". Жинақ немесе негізгі құрауышы жиын болған математикалық объект туралы айтылғанда, жинақтың кардиналдылығы жиі емес дегенді білдіреді. Шектер контекстінде "жиі" кездейсоқ үлкен аргументтерді және олармен байланысты нәрселерді білдіреді; "кейін" сияқты, мақсатталған нұсқа жасырын. Мысалы, тізбек жиі (1/2, 3/2) аралығында болады, себебі тізбектің мәні осы аралықта болатын n-нің кездейсоқ үлкен саны бар. "Формальды" немесе "формальды түрде" – формальды жүйеде тікелей аударуға жеткілікті дәлдігі бар кез келген нәрсені білдіреді. Мысалы, формальды дәлел, формальды анықтама. "Жалпы" – өлшем теориясының шегінен тыс ұғымдар үшін қолданылатын ұқсас термин. Егер жиын тығыздықтың қандай да бір (контекстен тәуелді) түсінігін қанағаттандырса немесе оның толықтырмасы кішіліктің қандай да бір (контекстен тәуелді) түсінігін қанағаттандырса, қасиет жиынға "жалпы" қатысты деп айтылады. Мысалы, тығыз Gδ (саналатын көптеген ашық жиынтықтардың қиылысуы) бойынша ұсталатын қасиет жалпыға бірдей деп айтылады. Алгебралық геометрияда, тығыз Зариски ашық жиынтығындағы нүктелердің қасиеті жалпыға бірдей дұрыс деп айтылады; бірақ тығыз жиынтықта ғана ұсталатын қасиет (Зариски ашық емес) осы жағдайда жалпы деп айтылмайды. "Жалпы" – сипаттамалық контексте, біріктіретін принципті анықтау үшін объектілердің кең класының қарапайым сипаттамасын енгізеді. Бұл термин "әдемі" сипаттаманы ұсынады, ол "кәдімгі" объектілерге қатысты. Бұл сипаттамадан ерекшеліктер "патологиялық" жағдай ретінде нақты аталуы мүмкін. "Сол жақ" және "оң жақ" (LHS, RHS) – көбінесе теңдеудің сол немесе оң жағын білдіреді; мысалы, LHS және RHS-де бар. Кейде lvalue және rvalue мағынасында қолданылады: RHS – примитивті, ал LHS – туынды. Математикалық объект "әдемі" немесе "жеткілікті әдемі" деп аталады, егер ол белгілі бір контекстте өте қажетті гипотезаларға немесе қасиеттерге ие болса. "Патологиялыққа" қарама-қарсы. "Онто" функциясы (математикада бір жиынның элементтерін екінші жиынға бейнелейтін) "A-дан B-ға" (емес "A-ға B" немесе "A-ға") тек қана сюръективті болса ғана қолданылады; тіпті "f онто" деп айтуға болады (яғни, сюръективті). Кейбір тілдерде (ағылшыннан басқа) аудару қиын. "Дұрыс" – егер субструктуралардың ұғымы болса, объектілер өзінің субструктуралары болса (қатынас рефлексивті), онда "дұрыс" атауы объектілердің әртүрлі екенін білдіреді. Мысалы, жинақтың дұрыс ішкі жиыны – жинақтың өзінен өзгеше ішкі жиыны, ал санның дұрыс бөлгіші – санның өзінен өзгеше бөлгіші. Бұл көп мағыналы сөз сонымен қатар формальды емес морфизмді білдіреді. "Тұрақты" – функция қанағаттандыратын қасиеттеріне байланысты, көбінесе контекстен тәуелді. Бұл қасиеттер белгілі бір мөлшерде туындыларға ие болуын, функцияның және оның туындыларының белгілі бір қасиеттерге ие болуын (жоғарыдағы "әдемі" қараңыз), мысалы, Гельдер үздіксіздігін қамтуы мүмкін. Формальды түрде, бұл термин кейде "тегіс" синонимі ретінде қолданылады. Бұл сөздің дәл емес қолданылуын тұрақты топологиялық кеңістіктің ұғымымен шатастырмау керек, ол қатаң түрде анықталған. "resp." (Respectively) – параллель баяндамаларды қысқарту үшін қолданылатын конвенция. "A (resp. B) X (resp. Y) қатысты" дегеніміз A X-ке қатысты және B Y-ке қатысты. Мысалы, шаршылар (resp. үшбұрыштар) 4 қабырғаға (resp. 3 қабырғаға) ие; немесе ықшам (resp. Линделеф) кеңістіктер әрбір ашық қаптамада ақырғы (resp. саналатын) ашық ішкі қаптамасы бар кеңістіктер. "Нақты" – математикалық теорема кейбір объектінің мінез-құлқына қатысты шектеулерді белгілейді; мысалы, функция жоғарғы немесе төменгі шекараға ие. Егер шектеуді кейбір жағдайларда сәтсіздікке ұшыратпастан одан да шектеулі етуге болмаса, онда шектеу "нақты" (кейде "оптималды") болады. Мысалы, кез келген оң нақты сандар үшін x, экспоненциалды функция ex, е = 2.7182818, квадратиқалық функция x2 үшін жоғарғы шекараны береді. Бұл нақты емес; функциялар арасындағы айырма әрқашан кемінде 1. αx түріндегі экспоненциалды функциялар арасында α = e2/e = 2.0870652 орнату нақты жоғарғы шекараны береді; сәл кішірек таңдау α = 2 жоғарғы шекараны бермейді, себебі α3 = 8 < 32. Қолданбалы салаларда "тығыз" сөзі осы мағынада қолданылады. "Тегіс" – математиканың көптеген мағыналармен берген ұғым, қарапайым дифференциалданудан бастап шексіз дифференциалдануға және одан да күрделі нәрселерге дейін. Әрбір қолданыс физикалық мағынаны...

Although ultimately every mathematical argument must meet a high standard of precision, mathematicians use descriptive but informal statements to discuss recurring themes or concepts with unwieldy formal statements. Note that many of the terms are completely rigorous in context. almost all A shorthand term for "all except for a set of measure zero", when there is a measure to speak of. For example, "almost all real numbers are transcendental" because the algebraic real numbers form a countable subset of the real numbers with measure zero. One can also speak of "almost all" integers having a property to mean "all except finitely many", despite the integers not admitting a measure for which this agrees with the previous usage. For example, "almost all prime numbers are odd". There is a more complicated meaning for integers as well, discussed in the main article. Finally, this term is sometimes used synonymously with generic, below. arbitrarily large Notions which arise mostly in the context of limits, referring to the recurrence of a phenomenon as the limit is approached. A statement such as that predicate P is satisfied by arbitrarily large values, can be expressed in more formal notation by ∀x : ∃y ≥ x : P(y). See also frequently. The statement that quantity f(x) depending on x "can be made" arbitrarily large, corresponds to ∀y : ∃x : f(x) ≥ y.
arbitrary A shorthand for the universal quantifier. An arbitrary choice is one which is made unrestrictedly, or alternatively, a statement holds of an arbitrary element of a set if it holds of any element of that set. Also much in general language use among mathematicians: "Of course, this problem can be arbitrarily complicated". eventuallyIn the context of limits, this is shorthand meaning for sufficiently large arguments; the relevant argument(s) are implicit in the context. As an example, the function log(log(x)) eventually becomes larger than 100"; in this context, "eventually" means "for sufficiently large x." factor through A term in category theory referring to composition of morphisms. If for three objects A, B, and C a map can be written as a composition with and , then f is said to factor through any (and all) of , , and finite When said of the value of a variable assuming values from the non negative extended reals the meaning is usually "not infinite". For example, if the variance of a random variable is said to be finite, this implies it is a non negative real number, possibly zero. In some contexts though, for example in "a small but finite amplitude", zero and infinitesimals are meant to be excluded. When said of the value of a variable assuming values from the extended natural numbers the meaning is simply "not infinite". When said of a set or a mathematical object whose main component is a set, it means that the cardinality of the set is less than frequently In the context of limits, this is shorthand for arbitrarily large arguments and its relatives; as with eventually, the intended variant is implicit. As an example, the sequence is frequently in the interval (1/2, 3/2), because there are arbitrarily large n for which the value of the sequence is in the interval. formal, formally Qualifies anything that is sufficiently precise to be translated straightforwardly in a formal system. For example. a formal proof, a formal definition. generic This term has similar connotations as almost all but is used particularly for concepts outside the purview of measure theory. A property holds "generically" on a set if the set satisfies some (context dependent) notion of density, or perhaps if its complement satisfies some (context dependent) notion of smallness. For example, a property which holds on a dense Gδ (intersection of countably many open sets) is said to hold generically. In algebraic geometry, one says that a property of points on an algebraic variety that holds on a dense Zariski open set is true generically; however, it is usually not said that a property which holds merely on a dense set (which is not Zariski open) is generic in this situation. in general In a descriptive context, this phrase introduces a simple characterization of a broad class of objects, with an eye towards identifying a unifying principle. This term introduces an "elegant" description which holds for "arbitrary" objects. Exceptions to this description may be mentioned explicitly, as "pathological" cases. left hand side, right hand side (LHS, RHS) Most often, these refer simply to the left hand or the right hand side of an equation; for example, has on the LHS and on the RHS. Occasionally, these are used in the sense of lvalue and rvalue: an RHS is primitive, and an LHS is derivative. nice A mathematical object is colloquially called nice or sufficiently nice if it satisfies hypotheses or properties, sometimes unspecified or even unknown, that are especially desirable in a given context. It is an informal antonym for pathological. For example, one might conjecture that a differential operator ought to satisfy a certain boundedness condition "for nice test functions," or one might state that some interesting topological invariant should be computable "for nice spaces X." onto A function (which in mathematics is generally defined as mapping the elements of one set A to elements of another B) is called "A onto B" (instead of "A to B" or "A into B") only if it is surjective; it may even be said that "f is onto" (i. e. surjective). Not translatable (without circumlocutions) to some languages other than English. proper If, for some notion of substructure, objects are substructures of themselves (that is, the relationship is reflexive), then the qualification proper requires the objects to be different. For example, a proper subset of a set S is a subset of S that is different from S, and a proper divisor of a number n is a divisor of n that is different from n. This overloaded word is also non jargon for a proper morphism. regular A function is called regular if it satisfies satisfactory continuity and differentiability properties, which are often context dependent. These properties might include possessing a specified number of derivatives, with the function and its derivatives exhibiting some nice property (see nice above), such as Hölder continuity. Informally, this term is sometimes used synonymously with smooth, below. These imprecise uses of the word regular are not to be confused with the notion of a regular topological space, which is rigorously defined. resp. (Respectively) A convention to shorten parallel expositions. "A (resp. B) [has some relationship to] X (resp. Y)" means that A [has some relationship to] X and also that B [has (the same) relationship to] Y. For example, squares (resp. triangles) have 4 sides (resp. 3 sides); or compact (resp. Lindelöf) spaces are ones where every open cover has a finite (resp. countable) open subcover. sharp Often, a mathematical theorem will establish constraints on the behavior of some object; for example, a function will be shown to have an upper or lower bound. The constraint is sharp (sometimes optimal) if it cannot be made more restrictive without failing in some cases. For example, for arbitrary non negative real numbers x, the exponential function ex, where e = 2.7182818 , gives an upper bound on the values of the quadratic function x2. This is not sharp; the gap between the functions is everywhere at least 1. Among the exponential functions of the form αx, setting α = e2/e = 2.0870652 results in a sharp upper bound; the slightly smaller choice α = 2 fails to produce an upper bound, since then α3 = 8 < 32. In applied fields the word "tight" is often used with the same meaning. smooth Smoothness is a concept which mathematics has endowed with many meanings, from simple differentiability to infinite differentiability to analyticity, and still others which are more complicated. Each such usage attempts to invoke the physically intuitive notion of smoothness. strong, stronger A theorem is said to be strong if it deduces restrictive results from general hypotheses. One celebrated example is Donaldson's theorem, which puts tight restraints on what would otherwise appear to be a large class of manifolds. This (informal) usage reflects the opinion of the mathematical community: not only should such a theorem be strong in the descriptive sense (below) but it should also be definitive in its area. A theorem, result, or condition is further called stronger than another one if a proof of the second can be easily obtained from the first but not conversely. An example is the sequence of theorems: Fermat's little theorem, Euler's theorem, Lagrange's theorem, each of which is stronger than the last; another is that a sharp upper bound (see sharp above) is a stronger result than a non sharp one. Finally, the adjective strong or the adverb strongly may be added to a mathematical notion to indicate a related stronger notion; for example, a strong antichain is an antichain satisfying certain additional conditions, and likewise a strongly regular graph is a regular graph meeting stronger conditions. When used in this way, the stronger notion (such as "strong antichain") is a technical term with a precisely defined meaning; the nature of the extra conditions cannot be derived from the definition of the weaker notion (such as "antichain"). sufficiently large, suitably small, sufficiently close In the context of limits, these terms refer to some (unspecified, even unknown) point at which a phenomenon prevails as the limit is approached. A statement such as that predicate P holds for sufficiently large values, can be expressed in more formal notation by ∃x : ∀y ≥ x : P(y). See also eventually. upstairs, downstairs A descriptive term referring to notation in which two objects are written one above the other; the upper one is upstairs and the lower, downstairs. For example, in a fiber bundle, the total space is often said to be upstairs, with the base space downstairs. In a fraction, the numerator is occasionally referred to as upstairs and the denominator downstairs, as in "bringing a term upstairs". up to, modulo, mod out by An extension to mathematical discourse of the notions of modular arithmetic. A statement is true up to a condition if the establishment of that condition is the only impediment to the truth of the statement. Also used when working with members of equivalence classes, especially in category theory, where the equivalence relation is (categorical) isomorphism; for example, "The tensor product in a weak monoidal category is associative and unital up to a natural isomorphism." vanish To assume the value 0. For example, "The function sin(x) vanishes for those values of x that are integer multiples of π." This can also apply to limits: see Vanish at infinity. weak, weaker The converse of strong. well defined Accurately and precisely described or specified. For example, sometimes a definition relies on a choice of some object; the result of the definition must then be independent of this choice.

Дәлелдеу терминологиясы

Дәлелдің формалды тілі идеялардың шағын жиынтығына жиі жүгінеді, олардың көпшілігі практикада әртүрлі лексикалық қысқартулар арқылы қолданылады. aliter Оқырманға балама әдіс немесе нәтиже дәлелін хабарлау үшін қолданылатын, қазірде қолданылмайтын термин. Дәлелде ол логикалық тұрғыдан қажетсіз, бірақ қызығушылық тудыратын ойлау бөлігін көрсетеді. Қарсылыққа қарай дәлелдеу (BWOC) немесе "егер жоқ болса", дәлелденуге тиіс мәлімдеменің жоққа шығарылуына дейінгі қарсылыққа қарай дәлелдеудің риторикалық кіріспесі. if және only if (iff) – мәлімдемелердің логикалық эквиваленттігін білдіретін қысқарту. Жалпы алғанда, дәлелдер контекстінде, бұл тіркес индукциялық аргументтерде базалық жағдайдан индукциялық қадамға өту кезінде жиі кездеседі, сондай-ақ тізбектің әрбір мүшесін беретін формуланың мысалы ретінде көрсетілген тізбектердің анықтамасында да қолданылады. Қажетті және жеткілікті – "егер және тек егер" дегеннің шағын түрі; "A, B үшін қажет (жеткілікті)" дегені "Егер (тек) B болса, A" дегенді білдіреді. Мысалы, "K өрісі алгебралық жабық болуы үшін оның шекті өріс кеңейтулері болмауы қажет және жеткілікті" дегені "K алгебралық жабық, егер және тек қана егер оның шекті кеңейтулері болмаса" дегенді білдіреді. Көбінесе тізімдерде қолданылады, мысалы, "Өрістің алгебралық жабық болуы үшін келесі шарттар қажет және жеткілікті". Көрсету керек (NTS), дәлелдеу керек (RTP), көрсетуге тырысамын (WTS) Дәлелдер кейде бірнеше шарттарды тізбектеп көрсетеді, олардың орындалуы қажетті теореманы білдіреді; сондықтан, осы мәлімдемелерді көрсету жеткілікті. Бір және бір ғана – объектінің бар екендігі және бірегейлігі туралы мәлімдеме; объект бар, және басқа мұндай объект жоқ. Q. E. D. (Quod erat demonstrandum): Латынша қысқарту, "демонстрацияланған нәрсе" дегенді білдіреді, дәлелдердің соңында тарихи түрде қолданылған, бірақ қазіргі уақытта сирек кездеседі, себебі оның орнына Хальмостың дәлелдің соңы белгісі – квадрат белгісі ∎ қолданылады. Жеткілікті түрде жақсы – талқылау аясындағы объектілерге қатысты, кейінірек нақтыланатын шарт, олар үшін белгілі бір көрсетілген қасиет орындалады. Теореманы құрастырғанда, теореманың мәлімдемесінде осы өрнектің қолданылуы, жағдайлар сөйлеушіге әлі белгілі болмауы мүмкін екенін көрсетеді және теореманың дәлелделуі үшін қажетті жағдайлар жинақталады. Келесілер эквивалентті (TFAE) – көбінесе бірнеше эквивалентті шарттар (әсіресе анықтама үшін, мысалы, нормальды кіші топ) тәжірибеде бірдей пайдалы болады; біреу TFAE арқылы екіден астам мәлімдеменің эквиваленттігін көрсететін теореманы енгізеді. Құрылымды тасымалдау – көбінесе екі объектінің қандай да бір жағынан эквивалентті екендігі көрсетіледі және олардың біреуі қосымша құрылыммен жабдықталған. Эквиваленттілікті пайдаланып, біз құрылымды тасымалдау арқылы екінші объектіде де осындай құрылымды анықтай аламыз. Мысалы, бірдей өлшемдегі кез келген екі векторлық кеңістік изоморфты болады; егер олардың біреуі ішкі көбейтіндімен берілген болса және егер біз белгілі бір изоморфизмді бекітсек, онда изоморфизм арқылы өту арқылы екінші кеңістіктегі ішкі көбейтіндіні анықтай аламыз. Жалпылықты жоғалтпай (WLOG, WOLOG, WALOG), қабылдауға болады (WMA) – кейде ұйғарымды оны қамтитын объектілер туралы қосымша болжамдармен оңайрақ дәлелдеуге болады. Егер айтылған ұйғарым осы өзгертілген ұйғарымнан қарапайым және минималды түсіндірмемен (мысалы, қалған ерекше жағдайлар белгілеуден басқа бірдей болса) шықса, онда өзгертілген болжамдар осы тіркеспен енгізіліп, өзгертілген ұйғарым дәлелденеді.

The formal language of proof draws repeatedly from a small pool of ideas, many of which are invoked through various lexical shorthands in practice. aliter An obsolescent term which is used to announce to the reader an alternative method, or proof of a result. In a proof, it therefore flags a piece of reasoning that is superfluous from a logical point of view, but has some other interest. by way of contradiction (BWOC), or "for, if not, " The rhetorical prelude to a proof by contradiction, preceding the negation of the statement to be proved. if and only if (iff) An abbreviation for logical equivalence of statements. in general In the context of proofs, this phrase is often seen in induction arguments when passing from the base case to the induction step, and similarly, in the definition of sequences whose first few terms are exhibited as examples of the formula giving every term of the sequence. necessary and sufficient A minor variant on "if and only if"; "A is necessary (sufficient) for B" means "A if (only if) B". For example, "For a field K to be algebraically closed it is necessary and sufficient that it have no finite field extensions" means "K is algebraically closed if and only if it has no finite extensions". Often used in lists, as in "The following conditions are necessary and sufficient for a field to be algebraically closed ". need to show (NTS), required to prove (RTP), wish to show, want to show (WTS) Proofs sometimes proceed by enumerating several conditions whose satisfaction will together imply the desired theorem; thus, one needs to show just these statements. one and only one A statement of the existence and uniqueness of an object; the object exists, and furthermore, no other such object exists. Q. E. D. (Quod erat demonstrandum): A Latin abbreviation, meaning "which was to be demonstrated", historically placed at the end of proofs, but less common currently, having been supplanted by the Halmos end of proof mark, a square sign ∎. sufficiently nice A condition on objects in the scope of the discussion, to be specified later, that will guarantee that some stated property holds for them. When working out a theorem, the use of this expression in the statement of the theorem indicates that the conditions involved may be not yet known to the speaker, and that the intent is to collect the conditions that will be found to be needed in order for the proof of the theorem to go through. the following are equivalent (TFAE) Often several equivalent conditions (especially for a definition, such as normal subgroup) are equally useful in practice; one introduces a theorem stating an equivalence of more than two statements with TFAE. transport of structure It is often the case that two objects are shown to be equivalent in some way, and that one of them is endowed with additional structure. Using the equivalence, we may define such a structure on the second object as well, via transport of structure. For example, any two vector spaces of the same dimension are isomorphic; if one of them is given an inner product and if we fix a particular isomorphism, then we may define an inner product on the other space by factoring through the isomorphism. without (any) loss of generality (WLOG, WOLOG, WALOG), we may assume (WMA) Sometimes a proposition can be more easily proved with additional assumptions on the objects it concerns. If the proposition as stated follows from this modified one with a simple and minimal explanation (for example, if the remaining special cases are identical but for notation), then the modified assumptions are introduced with this phrase and the altered proposition is proved.

Сынау әдістері

Математиктердің дәлелдеуді немесе дәлелдеу әдістерін сипаттау үшін бірнеше сөз тіркесі бар. Бұл жиі күрделі мәліметтерді толтыру үшін нұсқау ретінде қолданылады. бұрыш іздеу Диаграммадағы әртүрлі бұрыштар арасындағы қатынастарды табуды қамтитын геометриялық дәлелді сипаттау үшін қолданылады. конверттегі есептеу Дұрыстығын құрбан етпей, көп қатаңдықты алып тастайтын бейресми есептеу. Көбінесе бұл есептеу "концепцияны дәлелдеу" болып табылады және тек қолжетімді ерекше жағдайды қарастырады. күшпен іздеу Негізге алынатын принциптерді немесе үлгілерді табудың орнына, мәселенің шындығын жеткілікті дәлелдеу үшін қажетті барлық жағдайларды бағалау әдісі. Кейде бұл барлық мүмкін жағдайларды бағалауды қамтиды (онда ол толық тексеру арқылы дәлелдеу деп те аталады). мысалмен дәлелдеу Дәлел емес, мысал арқылы көрсету. Жақсы орындалса, нақты мысал жалпы дәлелге оңай жалпыланады. көзбен тексеру Авторлар жасаған риторикалық қысқарту, олар оқырмандарды ұсынылған өрнектің немесе шегерімнің дұрыстығын бір қарағанда тексеруге шақырады. Егер өрнекті қарапайым әдістерді тікелей қолдану арқылы және кеңейтілген есептеулер немесе жалпы теорияға жүгінбей бағалауға болады, онда оны көзбен тексеру арқылы бағалауға болады. Бұл теңдеулерді шешуде де қолданылады; мысалы, көзбен тексеру арқылы квадраттық теңдеудің түбірлерін табу оларды "байқап" немесе ақылмен тексеру. "Көзбен тексеру" гештальттық рөл атқарады: жауап немесе шешім оңай табылады. қорқыту арқылы Дәлелдеу стилі, онда автор оңай тексерілетін деп санайтын мәлімдемелер "ашық" немесе "тривиальды" деп белгіленеді, бұл көбінесе оқырманның шатасуына әкеледі. анық, оңай көрсетуге болады Математиктің қиын немесе әдеттегі деп санайтын есептеуді қысқартуға мүмкіндік беретін термин, бұл салада қажетті тәжірибеге ие кез-келген аудитория мүшесіне қолжетімді; Лаплас анық (французша: évident) сөзін қолданды. толық интуиция әдетте әзілдер үшін қолданылады (толық индукцияға қатысты ойын). диаграмманы іздеу Объектілер мен олардың арасындағы морфизмдердің коммутативті диаграммасы берілген жағдайда, егер морфизмдердің (мысалы, инъективтілік) қасиеттерін, оларды элементтер тұрғысынан айтуға болады, дәлелдеуге ниеттенсе, онда дәлелдеу әртүрлі объектілердің элементтерінің жолын диаграмма айналасында, оған кезекті морфизмдер қолданылған кезде іздеу арқылы жалғастыруға болады. Яғни, элементтерді диаграмма айналасында іздеу немесе диаграмманы іздеу. қолмен толғау Лекцияларда қолданылатын, ресми аргумент қатаң қажет емес дәлелдеу әдісі. Ол егжей-тегжейлі немесе тіпті маңызды ингредиенттерді қалдырып, тек ықтималдық аргументі болып табылады. жалпы Қатаңдықты талап етпейтін жағдайда, бұл сөз тіркесі толық аргументтің техникалық егжей-тегжейлері тұжырымдамалық артықшылықтардан асып түсетін кезде, еңбекті үнемдеуге мүмкіндік береді. Автор есептеулердің ақылға қонымды екендігіне жеткілікті қарапайым жағдайда дәлел келтіреді, содан кейін дәлелдің "жалпы алғанда" ұқсас екендігін көрсетеді. индекстік шайқас Бірнеше индекстері бар объектілерді қамтитын дәлелдемелер үшін, оларды түпке дейін барып шешуге болады (егер біреу күш жұмсағысы келсе). Диаграмманы іздеуге ұқсас. анық көріңіз. дәлелдеу оқушыға жаттығу ретінде қалдырылады Әдетте бұл дәлелдеуді аудиторияның кез-келген мүшесі қажетті сараптамамен жүйелі түрде ұсына алатын, бірақ анық болып көрінбейтін үлкен дәлелдеудегі талапқа қолданылады. тривиальды Аныққа ұқсас. Тұжырымдама, егер ол анықтамасы бойынша дұрыс болса, белгілі мәлімдемеге тікелей байланысты болса немесе жалпы тұжырымдаманың қарапайым ерекше жағдайын құраса, тривиальды болып саналады.

Mathematicians have several phrases to describe proofs or proof techniques. These are often used as hints for filling in tedious details. angle chasing Used to describe a geometrical proof that involves finding relationships between the various angles in a diagram. back of the envelope calculation An informal computation omitting much rigor without sacrificing correctness. Often this computation is "proof of concept" and treats only an accessible special case. brute force Rather than finding underlying principles or patterns, this is a method where one would evaluate as many cases as needed to sufficiently prove or provide convincing evidence that the thing in question is true. Sometimes this involves evaluating every possible case (where it is also known as proof by exhaustion). by example A proof by example is an argument whereby a statement is not proved but instead illustrated by an example. If done well, the specific example would easily generalize to a general proof. by inspection A rhetorical shortcut made by authors who invite the reader to verify, at a glance, the correctness of a proposed expression or deduction. If an expression can be evaluated by straightforward application of simple techniques and without recourse to extended calculation or general theory, then it can be evaluated by inspection. It is also applied to solving equations; for example to find roots of a quadratic equation by inspection is to 'notice' them, or mentally check them. 'By inspection' can play a kind of gestalt role: the answer or solution simply clicks into place. by intimidation Style of proof where claims believed by the author to be easily verifiable are labelled as 'obvious' or 'trivial', which often results in the reader being confused. clearly, can be easily shown A term which shortcuts around calculation the mathematician perceives to be tedious or routine, accessible to any member of the audience with the necessary expertise in the field; Laplace used obvious (French: évident). complete intuition commonly reserved for jokes (puns on complete induction). diagram chasing Given a commutative diagram of objects and morphisms between them, if one wishes to prove some property of the morphisms (such as injectivity) which can be stated in terms of elements, then the proof can proceed by tracing the path of elements of various objects around the diagram as successive morphisms are applied to it. That is, one chases elements around the diagram, or does a diagram chase. handwaving A non technique of proof mostly employed in lectures, where formal argument is not strictly necessary. It proceeds by omission of details or even significant ingredients, and is merely a plausibility argument. in general In a context not requiring rigor, this phrase often appears as a labor saving device when the technical details of a complete argument would outweigh the conceptual benefits. The author gives a proof in a simple enough case that the computations are reasonable, and then indicates that "in general" the proof is similar. index battle For proofs involving objects with multiple indices which can be solved by going to the bottom (if anyone wishes to take up the effort). Similar to diagram chasing. obviously See clearly. the proof is left as an exercise to the reader Usually applied to a claim within a larger proof when the proof of that claim can be produced routinely by any member of the audience with the necessary expertise, but is not so simple as to be obvious. trivial Similar to clearly. A concept is trivial if it holds by definition, is an immediate corollary to a known statement, or is a simple special case of a more general concept.

Әр түрлі

Бұл бөлім математиканың түрлі салаларында қолданылатын терминдерді, немесе арнайы сөздіктерде жиі кездеспейтін терминдерді қамтиды. Математиканың белгілі бір салаларында ғана қолданылатын терминдер үшін :Санат:Математика сөздіктеріне қараңыз.