Введение
Сборник часто используемых фраз, встречающихся в различных областях математики.
Язык математики обладает обширным запасом специализированных и технических терминов. В нем также присутствует определенное количество профессионализмов – общеупотребимых фраз, которые являются частью математической культуры, а не самой математики как дисциплины. Профессионализмы часто встречаются в лекциях и иногда в публикациях, служа неформальной сокращенной формой для строгих рассуждений или точных идей. Большая часть этих фраз – обычный английский язык, но приобретающий специфическое, неочевидное значение при использовании в математическом контексте. Некоторые фразы, такие как "в общем случае", встречаются в нескольких разделах ниже.
Описательные неформальные данные
Хотя в конечном счете каждый математический аргумент должен соответствовать высокому стандарту точности, математики используют описательные, но неформальные утверждения для обсуждения повторяющихся тем или концепций, формальные определения которых были бы громоздкими. Следует отметить, что многие из этих терминов полностью строги в контексте. почти все – сокращенное обозначение для "все, кроме множества меры нуль", когда речь идет о пространстве с определенной мерой. Например, "почти все действительные числа трансцендентны", поскольку алгебраические действительные числа образуют счетное подмножество действительных чисел с мерой нуль. Также можно говорить о "почти всех" целых числах, обладающих определенным свойством, подразумевая "все, кроме конечного числа", несмотря на то, что для целых чисел не существует меры, согласующейся с предыдущим использованием. Например, "почти все простые числа нечетны". Более сложное значение для целых чисел рассматривается в основной статье. Наконец, этот термин иногда используется как синоним к слову "обобщенный". произвольно большие – понятия, возникающие преимущественно в контексте пределов, описывающие повторение явления при приближении к пределу. Утверждение о том, что предикат P выполняется для произвольно больших значений, может быть формально записано как ∀x : ∃y ≥ x : P(y). См. также "часто". Утверждение о том, что величина f(x), зависящая от x, "может быть сделана" произвольно большой, соответствует записи ∀y : ∃x : f(x) ≥ y. произвольный – сокращение для универсального квантора. Произвольный выбор – это выбор, сделанный без ограничений, или, альтернативно, утверждение верно для произвольного элемента множества, если оно верно для любого элемента этого множества. Также часто используется математиками в общем языке: "Очевидно, эта задача может быть произвольно сложной". в конечном итоге – в контексте пределов, это сокращение, означающее "для достаточно больших аргументов"; соответствующие аргументы подразумеваются из контекста. Например, функция log(log(x)) в конечном итоге становится больше 100; в этом контексте "в конечном итоге" означает "для достаточно больших x". фактор через – термин из теории категорий, относящийся к композиции морфизмов. Если для трех объектов A, B и C отображение f можно представить как композицию g∘h, где g: B → C и h: A → B, то говорят, что f факторизуется через любой (и все) из g и h. конечный – когда речь идет о значении переменной, принимающей значения из расширенных неотрицательных действительных чисел, обычно означает "не бесконечный". Например, если дисперсия случайной величины считается конечной, это подразумевает, что она является неотрицательным действительным числом, возможно, равным нулю. В некоторых контекстах, например, в выражении "малая, но конечная амплитуда", подразумевается, что нуль и бесконечно малые числа исключены. Когда речь идет о значении переменной, принимающей значения из расширенных натуральных чисел, это просто означает "не бесконечный". Когда речь идет о множестве или математическом объекте, основным компонентом которого является множество, это означает, что кардинальность множества меньше бесконечности. часто – в контексте пределов, это сокращение для "произвольно больших аргументов" и связанных с ними понятий; как и в случае с "в конечном итоге", подразумеваемый вариант неявен. Например, последовательность часто находится в интервале (1/2, 3/2), поскольку существуют произвольно большие n, для которых значение последовательности лежит в этом интервале. формальный, формально – характеризует все, что достаточно точно, чтобы быть прямо переведенным в формальную систему. Например, формальное доказательство, формальное определение. общий – этот термин имеет схожие коннотации с "почти все", но используется особенно для понятий, выходящих за рамки теории меры. Свойство выполняется "обще" на множестве, если множество удовлетворяет некоторому (зависящему от контекста) понятию плотности, или, возможно, если его дополнение удовлетворяет некоторому (зависящему от контекста) понятию малости. Например, свойство, которое выполняется на плотном множестве Gδ (пересечении счетного числа открытых множеств), считается выполняющимся обще. В алгебраической геометрии говорят, что свойство точек на алгебраическом многообразии, которое выполняется на плотном открытом множестве Зарисского, выполняется обще; однако обычно не говорят, что свойство, которое выполняется только на плотном множестве (которое не является открытым Зарисского), является общим в этой ситуации. в общем – в описательном контексте эта фраза представляет собой простое описание широкого класса объектов, с целью выявления объединяющего принципа. Этот термин вводит "элегантное" описание, которое верно для "произвольных" объектов. Исключения из этого описания могут быть упомянуты явно как "патологические" случаи. левая часть, правая часть (ЛЧ, ПЧ) – чаще всего это относится просто к левой или правой части уравнения; например, x + 2 = 5 имеет x + 2 в ЛЧ и 5 в ПЧ. Иногда эти термины используются в смысле lvalue и rvalue: ПЧ является примитивным, а ЛЧ – производным. хороший – математический объект неформально называют хорошим или достаточно хорошим, если он удовлетворяет гипотезам или свойствам, иногда не указанным или даже неизвестным, которые особенно желательны в данном контексте. Это неформальный антоним к слову "патологический". Например, можно предположить, что дифференциальный оператор должен удовлетворять определенному условию ограниченности "для хороших тестовых функций", или можно утверждать, что некоторый интересный топологический инвариант должен быть вычислим "для хороших пространств X". отображение (на) – функция (которая в математике обычно определяется как отображение элементов одного множества A в элементы другого B) называется "отображением A на B" (вместо "отображением A в B"), только если она сюръективна; можно даже сказать, что "f является отображением (на)", то есть сюръективным. Непереводимо (без перифразов) на некоторые языки, отличные от английского. собственное – если для некоторого понятия подструктуры объекты являются подструктурами самих себя (то есть отношение рефлексивно), то квалификация "собственное" требует, чтобы объекты были различными. Например, собственное подмножество множества S – это подмножество S, отличное от S, а собственный делитель числа n – это делитель n, отличный от n. Это перегруженное слово также является нежаргонной заменой для "собственного морфизма". регулярный – функция называется регулярной, если она удовлетворяет удовлетворительным условиям непрерывности и дифференцируемости, которые часто зависят от контекста. Эти свойства могут включать наличие определенного числа производных, причем функция и ее производные обладают некоторым хорошим свойством (см. "хороший" выше), например, непрерывностью Гельдера. Неформально этот термин иногда используется как синоним к слову "гладкий". Эти неточные употребления слова "регулярный" не следует путать с понятием регулярного топологического пространства, которое строго определено. соотв. (Соответственно) – условное сокращение для параллельных изложений. "A (соотв. B) [имеет некоторое отношение] к X (соотв. Y)" означает, что A [имеет некоторое отношение] к X и также, что B [имеет (то же) отношение] к Y. Например, квадраты (соотв. треугольники) имеют 4 стороны (соотв. 3 стороны); или компактные (соотв. Линделефовы) пространства – это пространства, в которых каждое открытое покрытие имеет конечное (соотв. счетное) открытое подпокрытие. точный – часто математическая теорема устанавливает ограничения на поведение некоторого объекта; например, показано, что функция имеет верхнюю или нижнюю границу. Ограничение является точным (иногда оптимальным), если его нельзя сделать более строгим, не потерпев неудачу в некоторых случаях. Например, для произвольных неотрицательных действительных чисел x экспоненциальная функция ex, где e = 2.7182818, дает верхнюю границу для значений квадратичной функции x2. Это неточно; разрыв между функциями повсюду не менее 1. Среди экспоненциальных функций вида αx установка α = e2/e = 2.0870652 дает точную верхнюю границу; немного меньший выбор α = 2 не дает верхней границы, поскольку тогда α3 = 8 < 32. В прикладных областях слово "плотный" часто используется с тем же значением. гладкий – гладкость – это понятие, которому математика придала много значений, от простой дифференцируемости до бесконечной дифференцируемости до аналитичности и даже других, более сложных. Каждое такое использование пытается вызвать физически интуитивное...
arbitrary A shorthand for the universal quantifier. An arbitrary choice is one which is made unrestrictedly, or alternatively, a statement holds of an arbitrary element of a set if it holds of any element of that set. Also much in general language use among mathematicians: "Of course, this problem can be arbitrarily complicated". eventuallyIn the context of limits, this is shorthand meaning for sufficiently large arguments; the relevant argument(s) are implicit in the context. As an example, the function log(log(x)) eventually becomes larger than 100"; in this context, "eventually" means "for sufficiently large x." factor through A term in category theory referring to composition of morphisms. If for three objects A, B, and C a map can be written as a composition with and , then f is said to factor through any (and all) of , , and finite When said of the value of a variable assuming values from the non negative extended reals the meaning is usually "not infinite". For example, if the variance of a random variable is said to be finite, this implies it is a non negative real number, possibly zero. In some contexts though, for example in "a small but finite amplitude", zero and infinitesimals are meant to be excluded. When said of the value of a variable assuming values from the extended natural numbers the meaning is simply "not infinite". When said of a set or a mathematical object whose main component is a set, it means that the cardinality of the set is less than frequently In the context of limits, this is shorthand for arbitrarily large arguments and its relatives; as with eventually, the intended variant is implicit. As an example, the sequence is frequently in the interval (1/2, 3/2), because there are arbitrarily large n for which the value of the sequence is in the interval. formal, formally Qualifies anything that is sufficiently precise to be translated straightforwardly in a formal system. For example. a formal proof, a formal definition. generic This term has similar connotations as almost all but is used particularly for concepts outside the purview of measure theory. A property holds "generically" on a set if the set satisfies some (context dependent) notion of density, or perhaps if its complement satisfies some (context dependent) notion of smallness. For example, a property which holds on a dense Gδ (intersection of countably many open sets) is said to hold generically. In algebraic geometry, one says that a property of points on an algebraic variety that holds on a dense Zariski open set is true generically; however, it is usually not said that a property which holds merely on a dense set (which is not Zariski open) is generic in this situation. in general In a descriptive context, this phrase introduces a simple characterization of a broad class of objects, with an eye towards identifying a unifying principle. This term introduces an "elegant" description which holds for "arbitrary" objects. Exceptions to this description may be mentioned explicitly, as "pathological" cases. left hand side, right hand side (LHS, RHS) Most often, these refer simply to the left hand or the right hand side of an equation; for example, has on the LHS and on the RHS. Occasionally, these are used in the sense of lvalue and rvalue: an RHS is primitive, and an LHS is derivative. nice A mathematical object is colloquially called nice or sufficiently nice if it satisfies hypotheses or properties, sometimes unspecified or even unknown, that are especially desirable in a given context. It is an informal antonym for pathological. For example, one might conjecture that a differential operator ought to satisfy a certain boundedness condition "for nice test functions," or one might state that some interesting topological invariant should be computable "for nice spaces X." onto A function (which in mathematics is generally defined as mapping the elements of one set A to elements of another B) is called "A onto B" (instead of "A to B" or "A into B") only if it is surjective; it may even be said that "f is onto" (i. e. surjective). Not translatable (without circumlocutions) to some languages other than English. proper If, for some notion of substructure, objects are substructures of themselves (that is, the relationship is reflexive), then the qualification proper requires the objects to be different. For example, a proper subset of a set S is a subset of S that is different from S, and a proper divisor of a number n is a divisor of n that is different from n. This overloaded word is also non jargon for a proper morphism. regular A function is called regular if it satisfies satisfactory continuity and differentiability properties, which are often context dependent. These properties might include possessing a specified number of derivatives, with the function and its derivatives exhibiting some nice property (see nice above), such as Hölder continuity. Informally, this term is sometimes used synonymously with smooth, below. These imprecise uses of the word regular are not to be confused with the notion of a regular topological space, which is rigorously defined. resp. (Respectively) A convention to shorten parallel expositions. "A (resp. B) [has some relationship to] X (resp. Y)" means that A [has some relationship to] X and also that B [has (the same) relationship to] Y. For example, squares (resp. triangles) have 4 sides (resp. 3 sides); or compact (resp. Lindelöf) spaces are ones where every open cover has a finite (resp. countable) open subcover. sharp Often, a mathematical theorem will establish constraints on the behavior of some object; for example, a function will be shown to have an upper or lower bound. The constraint is sharp (sometimes optimal) if it cannot be made more restrictive without failing in some cases. For example, for arbitrary non negative real numbers x, the exponential function ex, where e = 2.7182818 , gives an upper bound on the values of the quadratic function x2. This is not sharp; the gap between the functions is everywhere at least 1. Among the exponential functions of the form αx, setting α = e2/e = 2.0870652 results in a sharp upper bound; the slightly smaller choice α = 2 fails to produce an upper bound, since then α3 = 8 < 32. In applied fields the word "tight" is often used with the same meaning. smooth Smoothness is a concept which mathematics has endowed with many meanings, from simple differentiability to infinite differentiability to analyticity, and still others which are more complicated. Each such usage attempts to invoke the physically intuitive notion of smoothness. strong, stronger A theorem is said to be strong if it deduces restrictive results from general hypotheses. One celebrated example is Donaldson's theorem, which puts tight restraints on what would otherwise appear to be a large class of manifolds. This (informal) usage reflects the opinion of the mathematical community: not only should such a theorem be strong in the descriptive sense (below) but it should also be definitive in its area. A theorem, result, or condition is further called stronger than another one if a proof of the second can be easily obtained from the first but not conversely. An example is the sequence of theorems: Fermat's little theorem, Euler's theorem, Lagrange's theorem, each of which is stronger than the last; another is that a sharp upper bound (see sharp above) is a stronger result than a non sharp one. Finally, the adjective strong or the adverb strongly may be added to a mathematical notion to indicate a related stronger notion; for example, a strong antichain is an antichain satisfying certain additional conditions, and likewise a strongly regular graph is a regular graph meeting stronger conditions. When used in this way, the stronger notion (such as "strong antichain") is a technical term with a precisely defined meaning; the nature of the extra conditions cannot be derived from the definition of the weaker notion (such as "antichain"). sufficiently large, suitably small, sufficiently close In the context of limits, these terms refer to some (unspecified, even unknown) point at which a phenomenon prevails as the limit is approached. A statement such as that predicate P holds for sufficiently large values, can be expressed in more formal notation by ∃x : ∀y ≥ x : P(y). See also eventually. upstairs, downstairs A descriptive term referring to notation in which two objects are written one above the other; the upper one is upstairs and the lower, downstairs. For example, in a fiber bundle, the total space is often said to be upstairs, with the base space downstairs. In a fraction, the numerator is occasionally referred to as upstairs and the denominator downstairs, as in "bringing a term upstairs". up to, modulo, mod out by An extension to mathematical discourse of the notions of modular arithmetic. A statement is true up to a condition if the establishment of that condition is the only impediment to the truth of the statement. Also used when working with members of equivalence classes, especially in category theory, where the equivalence relation is (categorical) isomorphism; for example, "The tensor product in a weak monoidal category is associative and unital up to a natural isomorphism." vanish To assume the value 0. For example, "The function sin(x) vanishes for those values of x that are integer multiples of π." This can also apply to limits: see Vanish at infinity. weak, weaker The converse of strong. well defined Accurately and precisely described or specified. For example, sometimes a definition relies on a choice of some object; the result of the definition must then be independent of this choice.
Терминология доказательства
Формальный язык доказательств неоднократно опирается на небольшой набор идей, многие из которых в практике выражаются через различные лексические сокращения. aliter Устаревший термин, используемый для сообщения читателю об альтернативном методе или доказательстве результата. В доказательстве он, следовательно, указывает на часть рассуждений, которая избыточна с логической точки зрения, но представляет иной интерес. доказательство от противного (BWOC), или "если не", риторическое вступление к доказательству от противного, предшествующее отрицанию доказываемого утверждения. if и only if (iff) Сокращение для логической эквивалентности утверждений. в общем случае В контексте доказательств эта фраза часто встречается в индуктивных аргументах при переходе от базового случая к индуктивному шагу, а также в определении последовательностей, первые несколько членов которых приводятся в качестве примеров формулы, определяющей каждый член последовательности. необходимы и достаточны Незначительный вариант выражения "если и только если"; "A необходимо (достаточно) для B" означает "A если (только если) B". Например, "для того чтобы поле K было алгебраически замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно не имело конечных полей расширений" означает "K алгебраически замкнуто, если и только если у него нет конечных расширений". Часто используется в списках, например: "Следующие условия необходимы и достаточны для того, чтобы поле было алгебраически замкнутым". нужно показать (NTS), требуется доказать (RTP), хотим показать, желаем показать (WTS) Доказательства иногда строятся путем перечисления нескольких условий, одновременное выполнение которых влечет за собой доказываемую теорему; таким образом, необходимо показать только эти утверждения. одно и только одно Утверждение о существовании и единственности объекта; объект существует, и при этом не существует других подобных объектов. Q. E. D. (Quod erat demonstrandum): латинская аббревиатура, означающая "что и требовалось доказать", исторически помещаемая в конце доказательств, но в настоящее время используется реже, уступив место знаку конца доказательства Halmos – квадрату ∎. достаточно хороший Условие на объекты, рассматриваемые в контексте обсуждения, которое будет уточнено позже и гарантирует, что для них выполняются определенные свойства. При разработке теоремы использование этого выражения в формулировке теоремы указывает на то, что задействованные условия могут быть еще не известны автору, и намерение состоит в том, чтобы собрать условия, которые окажутся необходимыми для завершения доказательства теоремы. следующие утверждения эквивалентны (TFAE) Часто несколько эквивалентных условий (особенно для определения, например, нормальной подгруппы) одинаково полезны на практике; в этом случае формулируется теорема, утверждающая эквивалентность более двух утверждений с использованием аббревиатуры TFAE. перенос структуры Часто бывает, что два объекта оказываются эквивалентными в некотором смысле, и один из них наделен дополнительной структурой. Используя эквивалентность, мы можем определить такую структуру и на втором объекте посредством переноса структуры. Например, любые два векторных пространства одинаковой размерности изоморфны; если одно из них снабжено скалярным произведением и задан конкретный изоморфизм, то мы можем определить скалярное произведение на другом пространстве, рассматривая его как результат применения изоморфизма. без потери общности (WLOG, WOLOG, WALOG), можно считать (WMA) Иногда предложение легче доказать, добавив дополнительные предположения об объектах, которые оно касается. Если из этого модифицированного предложения следует исходное предложение с простым и минимальным объяснением (например, если оставшиеся частные случаи отличаются только обозначениями), то модифицированные предположения вводятся этой фразой, и доказывается измененное предложение.
Методы проверки
У математиков есть несколько фраз для описания доказательств или техник доказательства. Они часто используются как подсказки для заполнения утомительных деталей. Поиск углов Используется для описания геометрического доказательства, включающего нахождение связей между различными углами на чертеже. Расчет на полях Неформальное вычисление, не требующее высокой строгости, но сохраняющее корректность. Часто такое вычисление является "доказательством концепции" и рассматривает лишь доступный частный случай. Метод грубой силы Вместо поиска фундаментальных принципов или закономерностей, это метод, при котором оценивается столько случаев, сколько необходимо для достаточного доказательства или предоставления убедительных доказательств истинности рассматриваемого утверждения. Иногда это включает в себя оценку каждого возможного случая (что также известно как доказательство от противного, или доказательство исчерпыванием). Доказательство примером – это аргумент, при котором утверждение не доказывается, а иллюстрируется примером. При правильном подходе конкретный пример легко обобщается до общего доказательства. Проверка на глаз Риторический прием, используемый авторами, предлагающими читателю убедиться в правильности предложенного выражения или вывода одним взглядом. Если выражение можно оценить прямым применением простых методов, без сложных вычислений или общей теории, то оно может быть оценено путем проверки на глаз. Это также применимо к решению уравнений; например, найти корни квадратного уравнения путем проверки на глаз – значит "заметить" их или мысленно проверить. "Проверка на глаз" может играть роль гештальта: ответ или решение просто встает на свое место. Доказательство запугиванием Стиль доказательства, при котором утверждения, которые автор считает легко проверяемыми, обозначаются как "очевидные" или "тривиальные", что часто приводит читателя в замешательство. Очевидно, может быть легко показано Термин, позволяющий избежать вычислений, которые математик считает утомительными или рутинными, доступных любому члену аудитории, обладающему необходимой экспертизой в данной области; Лаплас использовал "очевидное" (фр. évident). Полная интуиция Обычно используется в шутках (каламбуры, основанные на принципе полной индукции). Преследование по диаграмме Для коммутативной диаграммы объектов и морфизмов между ними, если требуется доказать некоторое свойство морфизмов (например, инъективность), которое можно сформулировать в терминах элементов, то доказательство может быть построено путем прослеживания пути элементов различных объектов по диаграмме при последовательном применении к ним морфизмов. То есть, элементы "преследуются" по диаграмме, или выполняется "преследование по диаграмме". Махание руками Неформальный метод доказательства, часто используемый на лекциях, где строгий аргумент не является необходимым. Он заключается в опущении деталей или даже важных компонентов и представляет собой лишь аргумент правдоподобия. В общем В контексте, не требующем строгости, эта фраза часто используется для экономии усилий, когда технические детали полного аргумента перевешивают концептуальные преимущества. Автор приводит доказательство для достаточно простого случая, чтобы вычисления были разумными, а затем указывает, что "в общем случае" доказательство аналогично. Битва индексов Для доказательств, включающих объекты с множеством индексов, которые можно решить, "копаясь" в них (если кто-то готов приложить усилия). Похоже на преследование по диаграмме. Очевидно. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения Обычно применяется к утверждению в рамках более крупного доказательства, когда доказательство этого утверждения может быть выполнено любым членом аудитории, обладающим необходимой экспертизой, но не является настолько простым, чтобы быть очевидным. Тривиально Похоже на очевидно. Понятие тривиально, если оно следует из определения, является непосредственным следствием известного утверждения или представляет собой простой частный случай более общего понятия.
Разное
В этом разделе представлены термины, используемые в различных областях математики, или термины, которые редко встречаются в более специализированных глоссариях. Термины, используемые лишь в отдельных областях математики, см. в глоссариях в категории:Категория:Глоссарии математики.