Кіріспе
Көпшелердің математикалық теңдігі Математикада, екі квадраттың айырмасы – басқа квадрат санын біреуден шегеру (өзін-өзі көбейту) нәтижесінде алынған сан. Кез келген квадраттар айырмасын элементар алгебрадағы теңдік бойынша көбейткіштерге жіктеуге болады.
In mathematics, the difference of two squares is a squared (multiplied by itself) number subtracted from another squared number. Every difference of squares may be factored according to the identity
in elementary algebra.
Геометриялық көрсетілімдер
Екі квадраттың айырмашылығын жазықтықтағы екі квадраттың аудандарының айырмашылығы ретінде геометриялық түрде де көрсетуге болады. Диаграммада көлеңкеленген бөлік екі квадраттың аудандарының айырмасын көрсетеді, яғни көлеңкеленген бөліктің ауданын екі тіктөртбұрыштың аудандарын қосу арқылы табуға болады; , оны көбейткіштерге жіктеуге болады. Сондықтан, тағы бір геометриялық дәлелдеу былай жүреді: Біз төмендегі бірінші суретте көрсетілген фигурадан бастаймыз – кіші квадраттан бос орын қалған үлкен квадрат. Тұтас квадраттың қабырғасы a, ал алынып тасталған кіші квадраттың қабырғасы b. Көлеңкеленген аймақтың ауданы екінші суретте көрсетілгендей, аймақты екі тіктөртбұрышқа бөліп кесу арқылы табылады. Жоғарғы бөліктің ені a, ал биіктігі a-b. Төменгі кіші бөліктің ені a-b, ал биіктігі b. Енді кіші бөлікті бөліп, бұрып, үлкен бөліктің оң жағына орналастыруға болады. Төмендегі соңғы суретте көрсетілгендей, жаңа орналасуда екі бөлік бірігіп, ені a және биіктігі a+b болатын тіктөртбұрыш құрайды. Осы тіктөртбұрыштың ауданы: . Бұл тіктөртбұрыш бастапқы фигураны қайта орналастыру арқылы алынғандықтан, оның бастапқы фигурамен бірдей ауданы болуы керек. Сондықтан, .
Another geometric proof proceeds as follows: We start with the figure shown in the first diagram below, a large square with a smaller square removed from it. The side of the entire square is a, and the side of the small removed square is b. The area of the shaded region is A cut is made, splitting the region into two rectangular pieces, as shown in the second diagram. The larger piece, at the top, has width a and height a b. The smaller piece, at the bottom, has width a b and height b. Now the smaller piece can be detached, rotated, and placed to the right of the larger piece. In this new arrangement, shown in the last diagram below, the two pieces together form a rectangle, whose width is and whose height is This rectangle's area is Since this rectangle came from rearranging the original figure, it must have the same area as the original figure. Therefore, .
Екі бірізді толық квадраттың айырмашылығы
Екі қатарынан келетін толық квадраттардың айырмасы – n және n+1 негіздерінің қосындысына тең. Мұны былай көруге болады:
Демек, екі қатарынан келетін толық квадраттардың айырмасы тақ сан болады. Сол сияқты, екі кез келген толық квадраттардың айырмасы былай есептеледі:
Демек, екі жұп толық квадраттардың айырмасы 4-ке бөлінеді, ал екі тақ толық квадраттардың айырмасы 8-ге бөлінеді.
Бүкіл сандарды факторлау
Сандар теориясы мен криптографиядағы бірнеше алгоритмдер бүтін сандардың көбейтінділерін табу және құрама сандарды анықтау үшін квадраттардың айырмасын пайдаланады. Ферма факторлау әдісі – қарапайым мысал, ол сандар тізбегін қарастырады, егер олардың бірі толық квадратқа тең болса, онда – санының (тривиалды емес) көбейткіштеріне жіктелуі болып табылады. Бұл тәсіл келесідей жалпылауға болады. Егер mod және mod болса, онда – тривиалды емес көбейткіштері бар құрама сан және . Бұл бірнеше көбейткіш табу алгоритмдерінің (мысалы, квадраттық елеу) негізін құрайды және Ферманың қарапайымдық тестімен біріктіріліп, күштірек Миллер-Рабин қарапайымдық тестісін береді.
This trick can be generalized as follows. If mod and mod , then is composite with non trivial factors and This forms the basis of several factorization algorithms (such as the quadratic sieve) and can be combined with the Fermat primality test to give the stronger Miller–Rabin primality test.