Введение
Математическое тождество многочленов
В математике разность двух квадратов — это квадрат числа, вычтенный из другого квадрата числа. Любая разность квадратов может быть разложена на множители в соответствии с тождеством в элементарной алгебре.
In mathematics, the difference of two squares is a squared (multiplied by itself) number subtracted from another squared number. Every difference of squares may be factored according to the identity
in elementary algebra.
Геометрические демонстрации
Различие двух квадратов также может быть геометрически проиллюстрировано как разность двух квадратных площадей на плоскости. На диаграмме заштрихованная часть представляет собой разность между площадями двух квадратов, то есть площадь заштрихованной части можно найти, сложив площади двух прямоугольников; , которые можно разложить на множители. Следовательно, другое геометрическое доказательство выглядит следующим образом: Начнем с фигуры, показанной на первой диаграмме ниже – большого квадрата, из которого вырезан меньший квадрат. Сторона всего квадрата равна a, а сторона вырезанного меньшего квадрата равна b. Площадь заштрихованной области равна A. Производится разрез, разделяющий область на две прямоугольные части, как показано на второй диаграмме. Большая часть, сверху, имеет ширину a и высоту a-b. Меньшая часть, снизу, имеет ширину a-b и высоту b. Теперь меньшую часть можно отделить, повернуть и поместить справа от большей части. В этом новом расположении, показанном на последней диаграмме ниже, две части вместе образуют прямоугольник, ширина которого равна a+b, а высота равна a-b. Площадь этого прямоугольника равна (a+b)(a-b). Поскольку этот прямоугольник получен перестановкой исходной фигуры, он должен иметь ту же площадь, что и исходная фигура. Поэтому, .
Another geometric proof proceeds as follows: We start with the figure shown in the first diagram below, a large square with a smaller square removed from it. The side of the entire square is a, and the side of the small removed square is b. The area of the shaded region is A cut is made, splitting the region into two rectangular pieces, as shown in the second diagram. The larger piece, at the top, has width a and height a b. The smaller piece, at the bottom, has width a b and height b. Now the smaller piece can be detached, rotated, and placed to the right of the larger piece. In this new arrangement, shown in the last diagram below, the two pieces together form a rectangle, whose width is and whose height is This rectangle's area is Since this rectangle came from rearranging the original figure, it must have the same area as the original figure. Therefore, .
Разница двух последовательных совершенных квадратов
Разница двух последовательных полных квадратов равна сумме двух оснований n и n+1. Это можно увидеть следующим образом:
Следовательно, разница двух последовательных полных квадратов является нечетным числом. Аналогично, разница двух произвольных полных квадратов вычисляется следующим образом:
Следовательно, разница двух четных полных квадратов кратна 4, а разница двух нечетных полных квадратов кратна 8.
Факторизация целых чисел
Несколько алгоритмов в теории чисел и криптографии используют разности квадратов для поиска множителей целых чисел и определения составных чисел. Простым примером является метод факторизации Ферма, который рассматривает последовательность чисел , для Если одно из значений равно полному квадрату , то это (потенциально нетривиальная) факторизация числа .
Этот прием можно обобщить следующим образом: если mod и mod , то число является составным и имеет нетривиальные множители и . Это является основой для нескольких алгоритмов факторизации (таких как квадратичное решето) и может быть объединено с тестом простоты Ферма для получения более сильного теста простоты Миллера — Рабина.
This trick can be generalized as follows. If mod and mod , then is composite with non trivial factors and This forms the basis of several factorization algorithms (such as the quadratic sieve) and can be combined with the Fermat primality test to give the stronger Miller–Rabin primality test.