Кіріспе
Аналитикалық функцияның анықталу облысын кеңейту (математика)
Кешендік талдауда, математиканың бір саласы, аналитикалық жалғастыру – берілген аналитикалық функцияның анықталу облысын кеңейту тәсілі. Аналитикалық жалғастыру көбінесе функцияның қосымша мәндерін анықтауда сәтті болады, мысалы, функцияны бастапқыда анықтаған шексіз қатарлы өрнегінің жинақталмай бастаған жаңа аймақта. Дегенмен, қадамдық жалғастыру тәсілі қиындықтарға ұшырауы мүмкін. Бұлардың негізінен топологиялық сипаты болуы мүмкін, бұл қарама-қайшылықтарға (бірнеше мәнді анықтау) әкеледі. Олар сингулярлықтардың болуымен де байланысты болуы мүмкін. Көптеген кешенді айнымалылар жағдайы өте ерекше, себебі сингулярлықтар міндетті түрде оқшауланған нүктелер болуы керек емес, ал оның зерттелуі бушақ кохомологиясының дамуының маңызды себебі болды.
Қолданбалар
Күрделі талдауда функцияларды анықтаудың әдеттегі тәсілі, ең алдымен функцияны кішкентай доменде белгілеп, содан кейін оны аналитикалық жалғастыру арқылы кеңейту болып табылады. Іс жүзінде, мұндай жалғастыру көбінесе кішкентай доменде бірнеше функционалдық теңдеулерді орнату және содан кейін осы теңдеуді доменді кеңейту үшін пайдалану арқылы жасалады. Мысалдарға Риманның зетта-функциясы және гамма-функциясы жатады. Универсалды жамылғы тұжырымы алғаш рет аналитикалық функцияның аналитикалық жалғасы үшін табиғи доменді анықтау мақсатымен жасалған. Функцияның максималды аналитикалық жалғасын табу идеясы, өз кезегінде, Риман беттерінің дамуына әкелді. Аналитикалық жалғастыру Римандық манифольдтарда, Эйнштейн теңдеулерінің шешімдерінде қолданылады. Мысалы, Шварцшильд координаттарының аналитикалық жалғасы Крускал-Секерес координаттарына ауысады.
Микроорганизмдер жиынтығының топологиясы
g және h – микробтар болсын. Егер r – g-нің конвергенция радиусы болса және g және h арқылы анықталатын қуат қатарлары екі доменнің қиылысында бірдей функцияларды көрсететін болса, онда h-ді g арқылы туындаған (немесе g-мен үйлесімді) дейміз және g ≥ h деп жазамыз. Бұл үйлесімділік шарты транзитивті, симметриялық немесе антисимметриялық емес. Егер қатынасты транзитивтілік арқылы кеңейтсек, симметриялық қатынас аламыз, сондықтан ол микробтардағы эквиваленттік қатынас болады (бірақ реттеу емес). Транзитивтілік арқылы кеңейту – аналитикалық жалғастырудың бір анықтамасы. Эквиваленттік қатынас былай белгіленеді. Біз r > 0 болатын топологияны анықтаймыз және Ur(g) жиындарын барлық r > 0 үшін анықтаймыз, бұл топологиядағы ашық жиындардың негізін құрайды. -ның байланысты компоненті (яғни, эквиваленттік класс) – шоқ деп аталады. Сондай-ақ, r – g-нің конвергенция радиусы болғанда анықталатын карта – график болып табылады. Мұндай графиктердің жиынтығы -ның атласын құрайды, сондықтан – Риман беті болады. Кейде оны универсалды аналитикалық функция деп атайды.
We can define a topology on Let r > 0, and let
The sets Ur(g), for all r > 0 and define a basis of open sets for the topology on
A connected component of (i. e., an equivalence class) is called a sheaf. We also note that the map defined by where r is the radius of convergence of g, is a chart. The set of such charts forms an atlas for , hence is a Riemann surface. is sometimes called the universal analytic function.
Талдау жалғастыруының мысалдары
z = 1 маңындағы натурал логарифмге сәйкес келетін қуат қатарлары. Бұл қуат қатарын микрожұқпаға айналдыруға болады. Бұл микрожұқпаның конвергенция радиусы 1-ге тең, сондықтан оған сәйкес S шоғыры бар. Бұл логарифм функциясының шоғыры. Аналитикалық функциялардың бірегейлік теоремасы аналитикалық функциялардың шоғырларына да қатысты: егер аналитикалық функцияның шоғырында нөлдік микрожұқпа болса (яғни, шоғыр кейбір аймақта біркелкі түрде нөлге тең болса), онда бүкіл шоғыр нөлге тең болады. Осы нәтижеге сүйене отырып, егер логарифм функциясының S шоғырының кез келген g микрожұқпасын алсақ және оны f(z) қуат қатарына айналдырсақ, онда бұл функция exp(f(z)) = z қасиетіне ие болады. Егер біз аналитикалық функциялар үшін кері функция теоремасының нұсқасын пайдалануды шешсек, экспоненциалдық бейнелеу үшін көптеген кері функцияларды құрастыра аламыз, бірақ олардың барлығы S шоғырындағы кейбір микрожұқпа арқылы бейнеленгенін анықтаймыз. Осы мағынада, S экспоненциалдық бейнелеудің "бірден-бір нақты кері" функциясы болып табылады. Ескі әдебиетте аналитикалық функциялардың шоғырлары көпмәнді функциялар деп аталды. Жалпы ұғым үшін шоғыр қараңыз.
This germ has a radius of convergence of 1, and so there is a sheaf S corresponding to it. This is the sheaf of the logarithm function. The uniqueness theorem for analytic functions also extends to sheaves of analytic functions: if the sheaf of an analytic function contains the zero germ (i. e., the sheaf is uniformly zero in some neighborhood) then the entire sheaf is zero. Armed with this result, we can see that if we take any germ g of the sheaf S of the logarithm function, as described above, and turn it into a power series f(z) then this function will have the property that exp(f(z)) = z. If we had decided to use a version of the inverse function theorem for analytic functions, we could construct a wide variety of inverses for the exponential map, but we would discover that they are all represented by some germ in S. In that sense, S is the "one true inverse" of the exponential map. In older literature, sheaves of analytic functions were called multi valued functions. See sheaf for the general concept.
Табиғи шекара
Күштілік қатардың конвергенция радиусы r болсын және ол диск ішінде f аналитикалық функциясын анықтайды делік. Конвергенция шеңберінің нүктелерін қарастырайық. Егер f-тің аналитикалық кеңейтімі бар аймақта бар болса, онда бұл нүкте тұрақты, әйтпесе дара болады. Егер шеңбердегі барлық нүктелер дара болса, онда шеңбер табиғи шекара болып табылады. Көбірек айтқанда, біз осы анықтаманы f аналитикалық болатын кез келген ашық байланысқан доменге қолданып, домен шекарасының нүктелерін тұрақты немесе дара деп жіктеуге болады: егер домен шекарасындағы барлық нүктелер дара болса, онда домен шекарасы табиғи шекара болып табылады, және бұл жағдайда домен – голоморфия домені болып есептеледі.
Монодромия теоремасы
Монодромия теоремасы тікелей аналитикалық жалғастықтың болуы үшін жеткілікті шартты береді (яғни, аналитикалық функцияны үлкен жиынтықтағы аналитикалық функцияға кеңейту). Егер G – D жиынын қамтитын, жай ғана байланысқан домен болса және f функциясы D жиынында аналитикалық болса, G доменіндегі кез келген жол бойынша, D жиынындағы белгілі бір a нүктесінен басталатын аналитикалық жалғасы болса, онда f функциясы G доменіне тікелей аналитикалық жалғасы бар. Жоғарыда айтылғандармен сәйкес, егер G – жай ғана байланысқан домен болса, ал S – негізгі нүктелер жиыны G доменін қамтитын шешкіш болса, онда G доменіндегі f аналитикалық функциясы бар, оның бүршіктері S шешкішіне жатады.
In the above language this means that if G is a simply connected domain, and S is a sheaf whose set of base points contains G, then there exists an analytic function f on G whose germs belong to S.
Пайдалы теорема: Оң емес бүтін сандарға талдауды жалғастыру үшін жеткілікті шарт
Көп жағдайда, егер күрделі функцияның аналитикалық жалғасы болса, ол интегралды формуламен беріледі. Келесі теорема, егер оның шарттары орындалса, оң нақты сандар бойынша жинақталған нүктелерінен кез келген (шектелген саны полюстерден басқа) нүктеге аналитикалық функцияны жалғастыруға жеткілікті шартты қамтамасыз етеді. Бұдан әрі, формула бастапқы функцияның нөлдегі жоғары ретті (бүтін сан) туындылары арқылы дәл өрнектелген оң емес бүтін сандардағы жалғаудың мәнін нақты көрсетеді.
Теореманың қорытындысы
F жоғарыда көрсетілген барлық (T1) (T3) шарттарды қанағаттандыратын оң нақты сандарда анықталған кез келген функция болсын. Онда F функциясының масштабталған Меллин түрлендіруінің интегралдық бейнесі, s-те , комплекстік жазықтыққа мероморфты түрде жалғастырылады. Бұдан әрі, кез келген теріс емес саны үшін, F функциясының нүктедегі жалғасы мына формуламен нақты беріледі.