Введение
Расширение области аналитической функции (математика)
В комплексном анализе, разделе математики, аналитическое продолжение — это метод расширения области определения заданной аналитической функции. Аналитическое продолжение часто позволяет определить дополнительные значения функции, например, в новой области, где первоначальное разложение в бесконечный ряд, определявшее функцию, становится расходящимся. Однако последовательное продолжение может столкнуться с трудностями. Эти трудности могут носить принципиально топологический характер, приводя к противоречиям (определению более чем одного значения). В качестве альтернативы, они могут быть связаны с наличием особых точек. Случай нескольких комплексных переменных существенно отличается, поскольку особые точки не обязаны быть изолированными, и исследование этого факта стало одной из основных причин развития когомологий пучков.
Приложения
Общий способ определения функций в комплексном анализе заключается в том, что сначала функция задается на небольшой области, а затем расширяется посредством аналитического продолжения. На практике это продолжение часто осуществляется путем предварительного установления некоторого функционального уравнения на малой области, а затем использования этого уравнения для расширения области определения. Примерами служат дзета-функция Римана и гамма-функция. Концепция универсальной накрывающей поверхности была впервые разработана для определения естественной области для аналитического продолжения аналитической функции. Идея нахождения максимального аналитического продолжения функции, в свою очередь, привела к развитию теории поверхностей Римана. Аналитическое продолжение используется в римановых многообразиях и при решении уравнений Эйнштейна, например, при аналитическом продолжении координат Шварцшильда в координаты Крускаля — Шекереса.
Топология множества микробов
Пусть g и h – germs. Если, где r – радиус сходимости g, и если степенные ряды, определяемые g и h, задают идентичные функции на пересечении двух областей, то мы говорим, что h порождена (или совместима) с g, и записываем g ≥ h. Это условие совместимости не является ни транзитивным, ни симметричным, ни антисимметричным. Если расширить это отношение транзитивностью, мы получим симметричное отношение, которое, следовательно, также является отношением эквивалентности на germs (но не отношением порядка). Это расширение транзитивностью является одним из определений аналитического продолжения. Отношение эквивалентности будет обозначаться . Мы можем определить топологию на . Пусть r > 0, и пусть множества Ur(g), для всех r > 0 и , образуют базис открытых множеств для топологии на . Связная компонента (т.е. класс эквивалентности) называется пучком. Мы также отмечаем, что отображение, определяемое , где r – радиус сходимости g, является локальной параметризацией. Множество таких локальных параметризаций образует атлас для , следовательно, является римановой поверхностью. иногда называют универсальной аналитической функцией.
We can define a topology on Let r > 0, and let
The sets Ur(g), for all r > 0 and define a basis of open sets for the topology on
A connected component of (i. e., an equivalence class) is called a sheaf. We also note that the map defined by where r is the radius of convergence of g, is a chart. The set of such charts forms an atlas for , hence is a Riemann surface. is sometimes called the universal analytic function.
Примеры аналитического продолжения
является степенным рядом, соответствующим натуральному логарифму в окрестности z = 1. Этот степенной ряд можно преобразовать в зародыш. Этот зародыш имеет радиус сходимости 1, и, следовательно, существует пучок S, соответствующий ему. Это пучок функции логарифма. Теорема единственности для аналитических функций также распространяется на пучки аналитических функций: если пучок аналитической функции содержит нулевой зародыш (то есть, пучок равномерно равен нулю в некоторой окрестности), то весь пучок равен нулю. Используя этот результат, мы можем видеть, что если взять любой зародыш g из пучка S функции логарифма, как описано выше, и преобразовать его в степенной ряд f(z), то эта функция будет обладать свойством exp(f(z)) = z. Если бы мы решили использовать версию теоремы об обратной функции для аналитических функций, мы могли бы построить множество различных обратных отображений для экспоненциального отображения, но мы обнаружили бы, что все они представлены некоторым зародышем в S. В этом смысле S является "единственным истинным обратным" экспоненциального отображения. В более ранней литературе пучки аналитических функций назывались многозначными функциями. См. пучок для общего понятия.
This germ has a radius of convergence of 1, and so there is a sheaf S corresponding to it. This is the sheaf of the logarithm function. The uniqueness theorem for analytic functions also extends to sheaves of analytic functions: if the sheaf of an analytic function contains the zero germ (i. e., the sheaf is uniformly zero in some neighborhood) then the entire sheaf is zero. Armed with this result, we can see that if we take any germ g of the sheaf S of the logarithm function, as described above, and turn it into a power series f(z) then this function will have the property that exp(f(z)) = z. If we had decided to use a version of the inverse function theorem for analytic functions, we could construct a wide variety of inverses for the exponential map, but we would discover that they are all represented by some germ in S. In that sense, S is the "one true inverse" of the exponential map. In older literature, sheaves of analytic functions were called multi valued functions. See sheaf for the general concept.
Естественная граница
Предположим, что степенной ряд имеет радиус сходимости r и определяет аналитическую функцию f внутри этого диска. Рассмотрим точки на окружности сходимости. Точка, для которой существует окрестность, на которой f имеет аналитическое продолжение, называется регулярной, в противном случае – сингулярной. Окружность является естественной границей, если все её точки сингулярны. В более общем случае, мы можем применить это определение к любой открытой связной области, на которой f аналитична, и классифицировать точки границы области как регулярные или сингулярные: граница области является естественной границей, если все точки сингулярны, в этом случае область называется областью голоморфии.
Теорема монодромии
Теорема монодромии дает достаточное условие для существования прямого аналитического продолжения (то есть расширения аналитической функции на аналитическую функцию на большем множестве). Пусть D – открытое множество, а f – аналитическая функция на D. Если G – односвязная область, содержащая D, такая, что f имеет аналитическое продолжение по каждому пути в G, начинающемуся в некоторой фиксированной точке a из D, то f имеет прямое аналитическое продолжение на G.
В указанном выше смысле это означает, что если G – односвязная область, а S – слой, множество базовых точек которого содержит G, то существует аналитическая функция f на G, чьи зародыши принадлежат S.
Полезная теорема: достаточный условие для аналитического продолжения к неположительным целым числам
В большинстве случаев, если существует аналитическое продолжение комплексной функции, оно задается интегральной формулой. Следующая теорема, при выполнении её условий, предоставляет достаточное условие, при котором можно продолжить аналитическую функцию из области сходимости вдоль положительной вещественной оси на произвольные точки (за исключением, возможно, конечного числа полюсов). Более того, формула дает явное выражение для значений продолжения в неположительные целые числа, точно выраженных производными высшего порядка (целочисленных) исходной функции, вычисленных в нуле.
Вывод теоремы
Пусть F — любая функция, определенная на положительных действительных числах, удовлетворяющая всем вышеуказанным условиям (T1)–(T3). Тогда интегральное представление масштабированного преобразования Меллина функции F в точке s, обозначаемое , имеет мероморфное продолжение на комплексную плоскость. Более того, для любого неотрицательного числа , продолжение F в точке задаётся явно формулой.