Кіріспе
Кешенді талдаудағы түсінік. Кешенді талдауда (математиканың бір саласы) полюс – кешенді айнымалының кешенді мәнді функциясының ерекше нүктесінің бір түрі. Бұл мұндай функцияның алынып тастамайтын ерекшелігінің ең қарапайым түрі (негізгі ерекшелікке қараңыз). Техникалық тұрғыдан алғанда, егер z0 нүктесі 1/f функциясының нөлі болса және 1/f функциясы z0 нүктесінің бір маңайында голоморфты (яғни, кешенді дифференциалданатын) болса, онда z0 нүктесі f функциясының полюсі болып табылады. Егер U ашық жиынтығының кез келген z нүктесі үшін z-ның маңында кем дегенде f немесе 1/f функцияларының бірі голоморфты болса, онда f функциясы U жиынтығында мероморфты болады. Егер f функциясы U-да мероморфты болса, онда f-тың нөлі 1/f-тың полюсі, ал f-тың полюсі 1/f-тың нөлі болады. Бұл нөлдер мен полюстер арасындағы екіұштылықты тудырады, ол мероморфтық функцияларды зерттеу үшін өте маңызды. Мысалы, егер функция бүкіл кешенді жазықтықта және шексіз нүктеде мероморфты болса, онда оның полюстерінің көптігінің қосындысы оның нөлдерінің көптігінің қосындысына тең болады.
In complex analysis (a branch of mathematics), a pole is a certain type of singularity of a complex valued function of a complex variable. It is the simplest type of non removable singularity of such a function (see essential singularity). Technically, a point z0 is a pole of a function f if it is a zero of the function 1/f and 1/f is holomorphic (i. e. complex differentiable) in some neighbourhood of z0. A function f is meromorphic in an open set U if for every point z of U there is a neighborhood of z in which at least one of f and 1/f is holomorphic. If f is meromorphic in U, then a zero of f is a pole of 1/f, and a pole of f is a zero of 1/f. This induces a duality between zeros and poles, that is fundamental for the study of meromorphic functions. For example, if a function is meromorphic on the whole complex plane plus the point at infinity, then the sum of the multiplicities of its poles equals the sum of the multiplicities of its zeros.
Иілгіштің функциясы
Нөлдер мен полюстер ұғымы күрделі қисықтардағы функцияларға, яғни күрделі сандардағы бірінші өлшемді күрделі аналитикалық көптіктерге табиғи түрде таралады. Мұндай қисықтардың ең қарапайым мысалдары — күрделі жазықтық және Риман беті. Бұл кеңейту құрылымдар мен қасиеттерді диаграммалар арқылы, яғни аналитикалық изоморфизмдер арқылы көшіру арқылы жасалады. Нақтырақ айтқанда, f функциясы M күрделі қисығынан күрделі сандарға дейін болсын. Егер M қисығының z нүктесінің айналасындағы аймақта бұл функция голоморфты (немесе мероморфты) болса, онда z нүктесінде голоморфты (немесе мероморфты) болатын белгілі бір диаграмма табылады. Содан кейін, егер осы диаграммада да солай болса, z нүктесі n-реттік полюс немесе нөл болады.
Егер қисық тұйық болса және f функциясы бүкіл қисықта мероморфты болса, онда нөлдер мен полюстер саны шектеулі болады, ал полюстердің реттерінің қосындысы нөлдердің реттерінің қосындысына тең. Бұл Риман-Рох теоремасында қолданылатын негізгі фактілердің бірі.