Введение

Понятие в комплексном анализе

В комплексном анализе (область математики) полюс — это определённый тип сингулярности комплекснозначной функции комплексной переменной. Это самый простой тип устранимой сингулярности такой функции (см. существенная сингулярность). Строго говоря, точка z₀ является полюсом функции f, если она является нулём функции 1/f и 1/f голоморфна (т. е. комплексно дифференцируема) в некоторой окрестности z₀. Функция f называется мероморфной в открытом множестве U, если для каждой точки z из U существует окрестность z, в которой хотя бы одна из функций f и 1/f голоморфна. Если f мероморфна в U, то нуль f является полюсом 1/f, а полюс f является нулём 1/f. Это порождает двойственность между нулями и полюсами, которая является фундаментальной для изучения мероморфных функций. Например, если функция мероморфна на всей комплексной плоскости вместе с точкой в бесконечности, то сумма кратности её полюсов равна сумме кратности её нулей.

Функция на кривой

Понятие нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексной кривой, то есть на комплексное аналитическое многообразие размерности один (над комплексными числами). Самыми простыми примерами таких кривых являются комплексная плоскость и поверхность Римана. Это расширение осуществляется путем переноса структур и свойств через локальные отображения, являющиеся аналитическими изоморфизмами. Точнее, пусть f – функция с комплексной кривой M в комплексные числа. Эта функция голоморфна (соответственно, мероморфна) в окрестности точки z кривой M, если существует локальное отображение, такое что f∘φ голоморфна (соответственно, мероморфна) в окрестности φ⁻¹(z). Тогда z является полюсом или нулем порядка n, если то же самое верно для f∘φ.

Если кривая компактна, и функция f мероморфна на всей кривой, то число нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, используемых в теореме Римана — Роха.