Кіріспе
Комплекстік талдауда, голоморфты функцияның алынып тасталатын сингулярлығы – функцияның анықталмаған нүктесі, бірақ осы нүктеде функцияны қайта анықтау мүмкін, нәтижесінде алынған функция сол нүктенің маңында реттелген болады. Мысалы, (қалыпқа келтірілмеген) sinc функциясы 1=z = 0 нүктесінде сингулярлыққа ие. Бұл сингулярлықты z 0-ға жақындағанда sinc функциясының лимитін анықтап алып жоюға болады. Алынған функция голоморфты болады. Бұл жағдайда проблема sinc функциясына белгісіз форма бергендіктен туындады. Сингулярлық нүктесінде sinc функциясының қуат қатарына жіктелуі мынаны көрсетеді:
In complex analysis, a removable singularity of a holomorphic function is a point at which the function is undefined, but it is possible to redefine the function at that point in such a way that the resulting function is regular in a neighbourhood of that point. For instance, the (unnormalized) sinc function, as defined by
has a singularity at 1=z = 0. This singularity can be removed by defining which is the limit of sinc as z tends to 0. The resulting function is holomorphic. In this case the problem was caused by sinc being given an indeterminate form. Taking a power series expansion for around the singular point shows that
Formally, if is an open subset of the complex plane , a point of , and is a holomorphic function, then is called a removable singularity for if there exists a holomorphic function which coincides with on We say is holomorphically extendable over if such a exists.
Формальды түрде, егер комплекс жазықтығының ашық ішкі жиыны болса, - нүктесі, ал - голоморфты функция болса, онда функциясы үшін алып тасталатын сингулярлық деп аталады, егер голоморфты функциясы -та -мен сәйкес келсе. Егер мұндай функциясы болса, функциясы үстінен голоморфты түрде кеңейтіледі дейміз.
In complex analysis, a removable singularity of a holomorphic function is a point at which the function is undefined, but it is possible to redefine the function at that point in such a way that the resulting function is regular in a neighbourhood of that point. For instance, the (unnormalized) sinc function, as defined by
has a singularity at 1=z = 0. This singularity can be removed by defining which is the limit of sinc as z tends to 0. The resulting function is holomorphic. In this case the problem was caused by sinc being given an indeterminate form. Taking a power series expansion for around the singular point shows that
Formally, if is an open subset of the complex plane , a point of , and is a holomorphic function, then is called a removable singularity for if there exists a holomorphic function which coincides with on We say is holomorphically extendable over if such a exists.
Өзге де ерекшелік түрлері
Нақты айнымалы функцияларынан өзгеше, голоморфтық функциялар жеткілікті түрде қатаң, сондықтан олардың оқшауланған сингулярлықтарын толық жіктеуге болады. Голоморфтық функцияның сингулярлығы шындығында сингулярлық емес, яғни алынып тасталатын сингулярлық, немесе келесі екі түрдің бірі: Риман теоремасына сәйкес, алынып тасталмайтын сингулярлық берілген болса, онда мұндай табиғи сан бар ма деп сұрауға болады. Егер бар болса, онда ол функцияның полюсі деп аталады, ал осындай ең кіші сан – полюстің реті болады. Сондықтан алынып тасталатын сингулярлықтар – 0 ретті полюстер болып табылады. Голоморфтық функция өз полюстерінің жанында біркелкі өседі. Егер оқшауланған сингулярлық алынып тасталмайтын және полюс болмаса, онда ол маңызды сингулярлық деп аталады. Ұлы Пикард теоремасы мұндай функцияның әрбір тесілген ашық маңын, ең көп дегенде бір нүктеден басқа, бүкіл комплекс жазықтыққа бейнелейтінін көрсетеді.
In light of Riemann's theorem, given a non removable singularity, one might ask whether there exists a natural number such that If so, is called a pole of and the smallest such is the order of So removable singularities are precisely the poles of order 0. A holomorphic function blows up uniformly near its other poles. If an isolated singularity of is neither removable nor a pole, it is called an essential singularity. The Great Picard Theorem shows that such an maps every punctured open neighborhood to the entire complex plane, with the possible exception of at most one point.