Введение

Неопределенная точка на голоморфной функции, которую можно устранить

В комплексном анализе устранимая сингулярность голоморфной функции — это точка, в которой функция не определена, но можно переопределить функцию в этой точке таким образом, чтобы полученная функция была регулярной в окрестности этой точки. Например, (ненормализованная) функция sinc, определяемая как

имеет сингулярность при z = 0. Эту сингулярность можно устранить, определив , что является пределом sinc при z стремящемся к 0. Полученная функция является голоморфной. В этом случае проблема была вызвана тем, что sinc представлена в неопределенной форме. Разложение в ряд Тейлора для вокруг сингулярной точки показывает, что

Формально, если — открытое подмножество комплексной плоскости , — точка из , а — голоморфная функция, то называется устранимой сингулярностью для , если существует голоморфная функция , которая совпадает с на . Мы говорим, что голоморфно продолжается на , если такая существует.

Другие типы сингулярности

В отличие от функций действительной переменной, голоморфные функции обладают достаточной жёсткостью, что позволяет полностью классифицировать их изолированные особые точки. Особая точка голоморфной функции либо на самом деле не является особой точкой, то есть устранимой особой точкой, либо относится к одному из следующих двух типов:

В свете теоремы Римана, для неустранимой особой точки можно задаться вопросом, существует ли натуральное число *n* такое, что lim (z→a) (z-a)^n f(z) ≠ 0. Если да, то *a* называется полюсом функции *f*, а наименьшее такое *n* – порядком этого полюса. Таким образом, устранимые особые точки являются точно полюсами порядка 0. Голоморфная функция неограниченно возрастает в окрестности любого своего полюса. Если изолированная особая точка функции *f* не является ни устранимой, ни полюсом, она называется существенной особой точкой. Большая теорема Пикара показывает, что такая особая точка отображает любую проколотую открытую окрестность в всю комплексную плоскость, за исключением, возможно, одной точки.