Қысқа мерзімді ставкалар моделі және пайыздық дерекөздері
Short-rate model
Қысқа мөлшерлеме моделі – пайыздық деривативтердегі қысқа мерзімді пайыздық ставканың болашақ өзгеруін математикалық тұрғыдан сипаттайтын модель. Тәуекелсіздік принципі негізінде облигация бағасы есептеледі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Қысқа мерзімді ставка моделі – пайыздық мөлшерлеме туындылары аясында, әдетте қысқа мерзімді ставканың болашақ өзгеруін сипаттау арқылы пайыздық мөлшерлемелердің болашақ динамикасын көрсететін математикалық модель.
A short rate model, in the context of interest rate derivatives, is a mathematical model that describes the future evolution of interest rates by describing the future evolution of the short rate, usually written .
Қысқа мөлшерлеме
Қысқа мөлшерлеме моделінде, стохастикалық күйдің айнымалысы бірден берілетін мөлшерлеме деп қабылданады. Онда қысқа мөлшерлеме – (үздіріссіз есептелген, жылдық) пайыздық мөлшерлеме, ол бойынша нақты тұлға өте қысқа мерзімге ақша қарызға ала алады. Қазіргі қысқа мөлшерлемені көрсету кіріс қисығының толық суретін бермейді. Дегенмен, арбитражға қарсы аргументтер көрсетіп тұр, егер тәуекелге бейтарап өлшем бойынша қысқа мөлшерлеменің эволюциясын стохастикалық процесс ретінде модельдесек, онда 1 төлеммен мерзімі жеткен нөлдік купондық облигацияның уақытындағы бағасы былай беріледі:
Under a short rate model, the stochastic state variable is taken to be the instantaneous spot rate. The short rate, , then, is the (continuously compounded, annualized) interest rate at which an entity can borrow money for an infinitesimally short period of time from time Specifying the current short rate does not specify the entire yield curve. However, no arbitrage arguments show that, under some fairly relaxed technical conditions, if we model the evolution of as a stochastic process under a risk neutral measure , then the price at time of a zero coupon bond maturing at time with a payoff of 1 is given by
мұнда – процесс үшін табиғи сүзгі. Нөлдік купондық облигациялардың пайыздық мөлшерлемелері кіріс қисығын, немесе дәлірек айтқанда, нөлдік қисықты құрайды. Осылайша, қысқа мөлшерлеме моделін көрсету болашақ облигация бағаларын анықтайды. Бұл бірден берілетін форвардтық мөлшерлемелер әдеттегі формула бойынша анықталады дегенді білдіреді:
where is the natural filtration for the process. The interest rates implied by the zero coupon bonds form a yield curve, or more precisely, a zero curve. Thus, specifying a model for the short rate specifies future bond prices. This means that instantaneous forward rates are also specified by the usual formula
Қысқа мөлшерлеме модельдері көбінесе эндогенді және экзогенді болып жіктеледі. Эндогенді қысқа мөлшерлеме модельдері – пайыздық мөлшерлемелердің немесе нөлдік купондық облигациялар бағаларының мерзімдік құрылымы модельдің нәтижесі болып табылатын қысқа мөлшерлеме модельдері, сондықтан ол «модельдің ішінде» (эндогенді) болады және модель параметрлерімен анықталады. Экзогенді қысқа мөлшерлеме модельдері – мұндай мерзімдік құрылым кіріс болып табылатын модельдер, өйткені модельде белгілі бір нарықтық мерзімдік құрылымды енгізуге мүмкіндік беретін уақытқа тәуелді функциялар немесе өзгерістер қарастырылады, сондықтан мерзімдік құрылым сырттан (экзогенді) келеді.
Short rate models are often classified as endogenous and exogenous. Endogenous short rate models are short rate models where the term structure of interest rates, or of zero coupon bond prices , is an output of the model, so it is "inside the model" (endogenous) and is determined by the model parameters. Exogenous short rate models are models where such term structure is an input, as the model involves some time dependent functions or shifts that allow for inputing a given market term structure, so that the term structure comes from outside (exogenous).
Қысқа мөлшерлеменің ерекше үлгілері
Бұл бөлімде – тәуекелге бейтарап ықтималдық өлшемі бойынша стандартты Браундық қозғалысты, ал – оның дифференциалын білдіреді. Модель логнормальды болған жағдайда, айнымалы Орнштейн-Уленбек процесіне сәйкес келеді деп есептеледі және басқа айнымалыға да сәйкес келеді.
Throughout this section represents a standard Brownian motion under a risk neutral probability measure and its differential. Where the model is lognormal, a variable is assumed to follow an Ornstein–Uhlenbeck process and is assumed to follow .
Басқа пайыздық мөлшерлемелер үлгілері
Пайыздық мөлшерлемені модельдеудің тағы бір маңызды аясы – Хит-Джароу-Мортон аясы (HJM). Жоғарыда сипатталған қысқа мерзімді мөлшерлеме модельдерінен өзгеше, бұл модельдер класы көбінесе Марков емес. Бұл көптеген жағдайларда жалпы HJM модельдерін есептеу жағынан қолдану қиындығын тудырады. HJM модельдерінің басты артықшылығы – олар қысқа мерзімді мөлшерлеме ғана емес, бүкіл кіріс қисығын талдамалық түрде сипаттайды. Кейбір жағдайларда (мысалы, ипотекалық облигацияларды бағалауда) бұл үлкен жеңілдік болуы мүмкін. Кокс-Ингерсолл-Росс және Халл-Уайт модельдері бір немесе бірнеше өлшемде HJM аясында тікелей көрініс табуы мүмкін. Басқа қысқа мерзімді мөлшерлеме модельдерінің қарапайым HJM сәйкестігі жоқ. Көптеген кездейсоқтық факторларын қамтитын HJM аясы, соның ішінде Brace-Gatarek-Musiela моделі мен нарықтық модельдер, көбінесе жоғары өлшемді модельдер үшін қалаулы болып табылады. Пайыздық мөлшерлемелер нөлдік шекке жақындаған кезде Фишер Блэктің көлеңкелі мөлшерлемесіне негізделген модельдер қолданылады.
The other major framework for interest rate modelling is the Heath–Jarrow–Morton framework (HJM). Unlike the short rate models described above, this class of models is generally non Markovian. This makes general HJM models computationally intractable for most purposes. The great advantage of HJM models is that they give an analytical description of the entire yield curve, rather than just the short rate. For some purposes (e. g., valuation of mortgage backed securities), this can be a big simplification. The Cox–Ingersoll–Ross and Hull–White models in one or more dimensions can both be straightforwardly expressed in the HJM framework. Other short rate models do not have any simple dual HJM representation. The HJM framework with multiple sources of randomness, including as it does the Brace–Gatarek–Musiela model and market models, is often preferred for models of higher dimension. Models based on Fischer Black's shadow rate are used when interest rates approach the zero lower bound.