Введение

Короткосрочная модель ставки, в контексте производных на процентные ставки, — это математическая модель, описывающая будущее изменение процентных ставок посредством описания будущего изменения краткосрочной ставки, обычно обозначаемой .

Короткая ставка

В рамках модели короткой ставки стохастической переменной состояния принимается мгновенная спотовая процентная ставка. Короткая ставка, таким образом, представляет собой (непрерывно начисляемую, годовую) процентную ставку, по которой экономический агент может заимствовать средства на бесконечно короткий период времени, начиная с момента времени . Указание текущей короткой ставки не определяет всю кривую доходности. Однако, аргументы, основанные на отсутствии арбитража, показывают, что при некоторых достаточно мягких технических условиях, если мы смоделируем эволюцию как стохастический процесс в рамках безрисковой меры , то цена в момент времени облигации с нулевым купоном, погашаемой в момент времени и приносящей выплату в размере 1, будет определяться выражением:

где – естественная фильтрация для данного процесса. Процентные ставки, вытекающие из цен облигаций с нулевым купоном, формируют кривую доходности, или, точнее, нулевую кривую. Следовательно, спецификация модели короткой ставки определяет будущие цены облигаций. Это означает, что мгновенные форвардные ставки также определяются стандартной формулой:

Модели коротких ставок часто классифицируются как эндогенные и экзогенные. Эндогенные модели короткой ставки – это модели, в которых структура процентных ставок или цены облигаций с нулевым купоном являются результатом работы модели, то есть находятся "внутри модели" (эндогенны) и определяются параметрами модели. Экзогенные модели короткой ставки – это модели, в которых структура сроков является входными данными, поскольку модель включает в себя некоторые функции, зависящие от времени, или сдвиги, позволяющие задавать существующую рыночную структуру сроков, таким образом, структура сроков поступает извне (экзогенна).

Особые модели коротких ставок

В этом разделе обозначает стандартное броуновское движение при нейтральной к риску мере вероятности, а – его дифференциал. Если модель является логнормальной, то переменная предполагается следующей процесс Орнштейна — Уленбека, а – следующей .

Другие модели процентных ставок

Другой основной подход к моделированию процентных ставок – это структура Хита–Джарроу–Мортона (HJM). В отличие от моделей краткосрочной ставки, описанных выше, этот класс моделей, как правило, не является марковским. Это делает общие модели HJM вычислительно сложными для большинства практических задач. Главное преимущество моделей HJM заключается в том, что они обеспечивают аналитическое описание всей кривой доходности, а не только краткосрочной ставки. Для некоторых целей (например, при оценке ценных бумаг, обеспеченных ипотекой) это может значительно упростить расчеты. Модели Кокса–Ингерсолла–Росса и Хулла–Уайта в одном или нескольких измерениях могут быть непосредственно представлены в рамках HJM. Другие модели краткосрочной ставки не имеют простого двойственного представления в HJM. Структура HJM с множественными источниками случайности, включающая в себя модель Брейса–Гатарека–Мусьелы и рыночные модели, часто предпочтительна для моделей с большей размерностью. Модели, основанные на теневой ставке Фишера Блэка, используются, когда процентные ставки приближаются к нижнему нулевому пределу.