Жалған топтар және дифференциалдық теңдеулер симметриясы
Pseudogroup
Математикада псевдогруппа – диффеоморфизмдер жиынтығы. Геометриялық симметрияны зерттеу үшін пайдаланылады. Картанның теориясы, риман және симплектикалық манифольдтар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада псевдотоп – кеңістіктің ашық жиындары арасындағы диффеоморфизмдер жиыны, топқа ұқсас және шоғырға ұқсас қасиеттерді қанағаттандырады. Бұл топ түсінігінің жалпыламасы, алайда абстрактілі алгебрадан емес, дифференциалдық теңдеулердің симметриясын зерттеуге Софус Лидің геометриялық тәсілінен туындайды (мысалы, квазитоп сияқты). Псевдотоптардың қазіргі заманғы теориясын 1900 жылдардың басында Эли Картан жасаған.
In mathematics, a pseudogroup is a set of diffeomorphisms between open sets of a space, satisfying group like and sheaf like properties. It is a generalisation of the concept of a group, originating however from the geometric approach of Sophus Lie to investigate symmetries of differential equations, rather than out of abstract algebra (such as quasigroup, for example). The modern theory of pseudogroups was developed by Élie Cartan in the early 1900s.
Мысалдар
Үлгілердің кең таралған класы берілген геометриялық құрылымды сақтайтын псевдогруппалармен беріледі. Мысалы, егер (X, g) Римандық көпқырлылық болса, онда оның жергілікті изометрияларының псевдогруппасы болады; егер (X, ω) симплектикалық көпқырлылық болса, онда оның жергілікті симплектоморфизмдерінің псевдогруппасы болады; және т.б. Бұл псевдогруппаларды осы құрылымдардың жергілікті симметрияларының жиынтығы деп қарастыру керек.
A widespread class of examples is given by pseudogroups preserving a given geometric structure. For instance, if (X, g) is a Riemannian manifold, one has the pseudogroup of its local isometries; if (X, ω) is a symplectic manifold, one has the pseudogroup of its local symplectomorphisms; etc. These pseudogroups should be thought as the set of the local symmetries of these structures.
Псевдотоптар және өтірік теориясы
Жалпы, псевдогруппалар шексіз өлшемді Ли топтарының мүмкін болатын теориясы ретінде зерттелді. Жергілікті Ли тобының түсінігі, атап айтқанда, Евклид кеңістігі E-нің бастапқы нүктесінің маңындағы аймақтарда анықталған функциялардың псевдогруппасы, трансформациялар шекті сандағы параметрлерге тәуелді болған жағдайда, қазіргі заманғы манифольдтар арқылы анықтауға қарағанда, Лидің бастапқы Ли тобы түсінігіне жақын. Картанның жетістіктерінің бірі – жергілікті Ли тобының әрқашан қазіргі мағынадағы (Лидің үшінші теоремасының аналогы, Ли алгебрасы топты анықтайды) жаһандық топқа келіп, осыған қатысты мәселелерді түсіндіру болды. Формальды топ – Ли топтарын инфинитезимальды түрде анықтаудың тағы бір тәсілі. Дегенмен, жергілікті топологиялық топтардың міндетті түрде жаһандық аналогтары бола бермейтіні белгілі. Е-нің барлық диффеоморфизмдерінің псевдогруппасынан басталатын шексіз өлшемді псевдогруппалардың көптеген мысалдары бар. Ең бастысы диффеоморфизмдердің ішкі псевдогруппалары, демек, векторлық өрістердің Ли алгебрасы аналогына ие объектілер. Ли және Картанның осы объектілерді зерттеуге ұсынған әдістері компьютерлік алгебраның дамуына байланысты одан да практикалық бола бастады. 1950 жылдары Картанның теориясын Шиинг Шен Черн қайта жаңартып, Кунихико Кодайра мен Д. Спенсер псевдогруппалар үшін жалпы деформация теориясын жасады. 1960 жылдары гомологиялық алгебра артық анықталған негізгі ПДЭ мәселелеріне қолданылды, бірақ бұл теорияның алгебрасының әлеуетті түрде өте күрделі екенін көрсетті. Сол онжылдықта шексіз өлшемді Ли теориясының теориялық физикаға деген қызығушылығы алғаш рет қазіргі алгебра түрінде пайда болды. Интуитивті түрде, Ли псевдогруппасы – ПДЭ жүйесінен "туындаған" псевдогруппа болуы керек. Әдебиетте көптеген ұқсас, бірақ тең емес түсініктер бар; "дұрыс" түсінік қолдану мақсатына байланысты. Дегенмен, барлық осы әртүрлі тәсілдер (шектелген немесе шексіз өлшемді) Γ-ның реактивті шоғырларын қамтиды, олар Ли группоиды болуы керек. Атап айтқанда, егер оны k-шы реактивтерінің кеңістігінен "қайта құруға" болса, Ли псевдогруппасы k-шы реттік деп аталады.
In general, pseudogroups were studied as a possible theory of infinite dimensional Lie groups. The concept of a local Lie group, namely a pseudogroup of functions defined in neighbourhoods of the origin of a Euclidean space E, is actually closer to Lie's original concept of Lie group, in the case where the transformations involved depend on a finite number of parameters, than the contemporary definition via manifolds. One of Cartan's achievements was to clarify the points involved, including the point that a local Lie group always gives rise to a global group, in the current sense (an analogue of Lie's third theorem, on Lie algebras determining a group). The formal group is yet another approach to the specification of Lie groups, infinitesimally. It is known, however, that local topological groups do not necessarily have global counterparts. Examples of infinite dimensional pseudogroups abound, beginning with the pseudogroup of all diffeomorphisms of E. The interest is mainly in sub pseudogroups of the diffeomorphisms, and therefore with objects that have a Lie algebra analogue of vector fields. Methods proposed by Lie and by Cartan for studying these objects have become more practical given the progress of computer algebra. In the 1950s, Cartan's theory was reformulated by Shiing Shen Chern, and a general deformation theory for pseudogroups was developed by Kunihiko Kodaira and D. C. Spencer. In the 1960s homological algebra was applied to the basic PDE questions involved, of over determination; this though revealed that the algebra of the theory is potentially very heavy. In the same decade the interest for theoretical physics of infinite dimensional Lie theory appeared for the first time, in the shape of current algebra. Intuitively, a Lie pseudogroup should be a pseudogroup which "originates" from a system of PDEs. There are many similar but inequivalent notions in the literature; the "right" one depends on which application one has in mind. However, all these various approaches involve the (finite or infinite dimensional) jet bundles of Γ, which are asked to be a Lie groupoid. In particular, a Lie pseudogroup is called of finite order k if it can be "reconstructed" from the space of its k jets.