Псевдогруппы: от геометрии Ли до бесконечномерных симметрий.

Введение

В математике псевдогруппа — это множество диффеоморфизмов между открытыми множествами пространства, удовлетворяющее свойствам, аналогичным свойствам группы и пучка. Это обобщение понятия группы, возникшее, однако, из геометрического подхода Софуса Ли к исследованию симметрий дифференциальных уравнений, а не из абстрактной алгебры (например, квазигрупп). Современная теория псевдогрупп была разработана Эли Картаном в начале 1900-х годов.

Примеры

Широко распространенный класс примеров задается псевдогруппами, сохраняющими заданную геометрическую структуру. Например, если (X, g) – риманово многообразие, то существует псевдогруппа его локальных изометрий; если (X, ω) – симплектическое многообразие, то существует псевдогруппа его локальных симплектоморфизмов и так далее. Эти псевдогруппы следует понимать как множество локальных симметрий этих структур.

Псевдогруппы и теория лжи

В целом, псевдогруппы изучались как возможная теория бесконечномерных групп Ли. Понятие локальной группы Ли, то есть псевдогруппы функций, определенных в окрестностях начала координат евклидова пространства E, на самом деле ближе к первоначальной концепции группы Ли, предложенной Ли, в случае, когда вовлеченные преобразования зависят от конечного числа параметров, чем современное определение через многообразия. Одним из достижений Картана было уточнение связанных с этим вопросов, включая то, что локальная группа Ли всегда порождает глобальную группу в современном понимании (аналог третьей теоремы Ли об алгебрах Ли, определяющих группу). Формальная группа – это еще один подход к заданию групп Ли в бесконечно малом виде. Однако известно, что локальные топологические группы не всегда имеют глобальные аналоги. Примеров бесконечномерных псевдогрупп множество, начиная с псевдогруппы всех диффеоморфизмов E. Основной интерес представляют подпсевдогруппы диффеоморфизмов и, следовательно, объекты, имеющие алгебру Ли, аналогичную алгебре векторных полей. Методы, предложенные Ли и Картаном для изучения этих объектов, стали более эффективными благодаря прогрессу в компьютерной алгебре. В 1950-х годах теорию Картана переформулировал Шиинг Шен Черн, а Кунихико Кодайра и Д. Спенсер разработали общую теорию деформаций для псевдогрупп. В 1960-х годах гомологическая алгебра была применена к основным вопросам теории уравнений в частных производных, связанным с избыточной определенностью; однако это показало, что алгебра теории потенциально очень сложна. В то же десятилетие впервые проявился интерес к теоретической физике бесконечномерной теории Ли в форме токовых алгебр. Интуитивно, псевдогруппа Ли должна быть псевдогруппой, "проистекающей" из системы уравнений в частных производных. В литературе существует множество схожих, но неравнозначных понятий; "правильный" выбор зависит от конкретной области применения. Однако все эти подходы включают (конечномерные или бесконечномерные) расслоения касательных векторов Γ, которые должны быть группоидом Ли. В частности, псевдогруппа Ли называется псевдогруппой конечного порядка k, если ее можно "восстановить" из пространства ее k-струй.

In general, pseudogroups were studied as a possible theory of infinite dimensional Lie groups. The concept of a local Lie group, namely a pseudogroup of functions defined in neighbourhoods of the origin of a Euclidean space E, is actually closer to Lie's original concept of Lie group, in the case where the transformations involved depend on a finite number of parameters, than the contemporary definition via manifolds. One of Cartan's achievements was to clarify the points involved, including the point that a local Lie group always gives rise to a global group, in the current sense (an analogue of Lie's third theorem, on Lie algebras determining a group). The formal group is yet another approach to the specification of Lie groups, infinitesimally. It is known, however, that local topological groups do not necessarily have global counterparts. Examples of infinite dimensional pseudogroups abound, beginning with the pseudogroup of all diffeomorphisms of E. The interest is mainly in sub pseudogroups of the diffeomorphisms, and therefore with objects that have a Lie algebra analogue of vector fields. Methods proposed by Lie and by Cartan for studying these objects have become more practical given the progress of computer algebra. In the 1950s, Cartan's theory was reformulated by Shiing Shen Chern, and a general deformation theory for pseudogroups was developed by Kunihiko Kodaira and D. C. Spencer. In the 1960s homological algebra was applied to the basic PDE questions involved, of over determination; this though revealed that the algebra of the theory is potentially very heavy. In the same decade the interest for theoretical physics of infinite dimensional Lie theory appeared for the first time, in the shape of current algebra. Intuitively, a Lie pseudogroup should be a pseudogroup which "originates" from a system of PDEs. There are many similar but inequivalent notions in the literature; the "right" one depends on which application one has in mind. However, all these various approaches involve the (finite or infinite dimensional) jet bundles of Γ, which are asked to be a Lie groupoid. In particular, a Lie pseudogroup is called of finite order k if it can be "reconstructed" from the space of its k jets.