Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда, берілген құрылым тобы G үшін, n-көптік M-дегі G-құрылымы – M-нің FM (немесе GL(M)) тангенттік шеңберлік топтамасының негізгі G-қосалқы топтамасы болып табылады. G-құрылымдары ұғымына көптіктерде анықталатын әртүрлі классикалық құрылымдар кіреді, олар кейбір жағдайларда тензорлық өрістер болып табылады. Мысалы, ортогональды топ үшін O(n) құрылымы Риман метрикасын анықтайды, ал арнайы сызықтық топ үшін SL(n,ℝ) құрылымы көлемдік формамен сәйкес келеді. Тривиалды топ үшін {e} құрылымы көптіктің абсолюттік параллелизмін құрайды. Бұл идеяны топологиялық кеңістіктердегі кез келген негізгі топтамаларға жалпылағанда, топтағы негізгі топтама осы топтың кіші тобынан туындаған ба деген сұрақ туындайды. Бұл құрылым тобының (құрылымдық топтың) қысқартылуы деп аталады. Көптүрліліктегі кешенді құрылым, симплектикалық құрылым немесе Кэлер құрылымы сияқты бірнеше құрылымдар, қосымша интегралдану шарты бар G-құрылымдары болып табылады.
In differential geometry, a G structure on an n manifold M, for a given structure group G, is a principal G subbundle of the tangent frame bundle FM (or GL(M)) of M.
The notion of G structures includes various classical structures that can be defined on manifolds, which in some cases are tensor fields. For example, for the orthogonal group, an O(n) structure defines a Riemannian metric, and for the special linear group an SL(n,R) structure is the same as a volume form. For the trivial group, an {e} structure consists of an absolute parallelism of the manifold. Generalising this idea to arbitrary principal bundles on topological spaces, one can ask if a principal bundle over a group "comes from" a subgroup of This is called reduction of the structure group (to ). Several structures on manifolds, such as a complex structure, a symplectic structure, or a Kähler structure, are G structures with an additional integrability condition.
Құрылымдық топты қысқарту
Бір топтағы негізгі бундельдің кіші топтан "туындайтыны" туралы сұрақ туындауы мүмкін. Бұл құрылым тобының (ге) дейін азайтылуы деп аталады және кез келген бейнелеу үшін мағыналы, ол міндетті түрде енгізу бейнелеуі болуы керек емес (аталған терминологияға қарамастан).
Анықтама
Келесіде, болсын – топологиялық кеңістік, – топологиялық топтар және – топ гомоморфизмі.
Бетонды түйіндер бойынша
Берілген негізгі топтамасы үшін, құрылым тобының (-ден -ға) қысқартылуы – бұл топтама және байланысты топтаманың бастапқы топтамаға изоморфизмі.
Аумақтарды жіктеу тұрғысынан
Берілген картада, онда – топтамалар жіктеу кеңістігі болса, құрылымдық топтың қысқартылуы – бұл карта және гомотопия.
Қасиеттері мен мысалдар
Құрылым тобының қысқартулары әрқашан бола бермейді. Егер олар болса, олар көбінесе бірегей емес, себебі изоморфизм – деректердің маңызды бөлігі. Нақты мысал ретінде, кез келген жұп өлшемді нақты векторлық кеңістік, күрделі векторлық кеңістіктің жатқан нақты кеңістігіне изоморфты: ол сызықтық күрделі құрылымға ие. Нақты векторлық шоғыр, күрделі векторлық шоғырдың жатқан нақты шоғырына изоморфты болған жағдайда ғана, күрделі құрылымға ие болады. Бұл, GL(n,C) → GL(2n,R) қосылуы бойынша қысқарту болып табылады.
Өтпелі карталар тұрғысынан алғанда, G шоғыры, егер және тек қана өтпелі карталар H-да мәндерге ие болса, қысқартылуы мүмкін. «Қысқарту» термині шатастырады: ол H-ның G-дің ішкі тобы екенін ұғындырады, бұл көбінесе дұрыс, бірақ міндетті емес (мысалы, спин құрылымдары үшін): оны көтеру деп атаған дұрыс. Көбірек абстрактілі тұрғыда, «X үстіндегі G шоғырлары» – G-дегі функтор: егер Lie тобының гомоморфизмі H → G берілсе, H шоғырларынан G шоғырларына индукция арқылы карта алынады (жоғарыда көрсетілгендей). G шоғырының B құрылым тобының қысқартылуы – бейнесі B болатын H шоғырын таңдау. H шоғырларынан G шоғырларына индукциялық карта, әдетте, бірін-біріне сәйкес келмейді, сондықтан құрылым тобы әрқашан қысқартылуы мүмкін емес, ал қысқартылса, онда бұл қысқарту бірегей болуы міндетті емес. Мысалы, кез келген манифольд бағытталған болуы міндетті емес, ал бағытталғандары дәл екі бағытқа ие. Егер H, G-дің жабық ішкі тобы болса, онда G-нің B шоғырын H-ға дейін қысқарту, және B/H-ның оң әрекеті арқылы B-ді бөлу арқылы алынған талшықты шоғыр B/H-ның жаһандық қималары арасында бірін-біріне сәйкестік болады. Атап айтқанда, B → B/H фибрациясы B/H үстіндегі негізгі H шоғыры құрайды. Егер σ : X → B/H қимасы болса, онда кері тартылған шоғыр BH = σ−1B – B-нің қысқартылуы болып табылады.
G-құрылыстары
Кез келген өлшемді векторлық жиынтықтың канондық жиынтығы – фрейм жиынтығы болады. Атап айтқанда, кез келген тегіс көптікке канондық векторлық жиынтық, жанама жиынтық жатады. Ли тобы және топтық гомоморфизм үшін құрылым – фрейм жиынтығының құрылым тобының -ге дейін қысқартылуы.
Жоғары сатыдағы G-құрылыстар
Белгілі бір G құрылымына интегралдау шарттарын қою (мысалы, симплектикалық форма жағдайында) ұзарту процесі арқылы шешілуі мүмкін. Мұндай жағдайларда, ұзартылған G құрылымын сызықтық кадрлар бунделінің G ішкі бунделімен теңестіруге болмайды. Дегенмен, көптеген жағдайларда ұзарту өзі жеке негізгі бундель болып табылады, және оның құрылымдық тобы жоғары реттік соққы тобының ішкі тобымен сәйкестендірілуі мүмкін. Осы жағдайда ол жоғары реттік G құрылымы [Кобаяши] деп аталады. Жалпы алғанда, Картанның эквиваленттілік әдісі мұндай жағдайларға қолданылады.