Введение

Структурная группа подпучка на расслоении касательных кадров. В дифференциальной геометрии, G-структура на n-многообразии M, для заданной структурной группы G, является главным G-подпучком расслоения касательных кадров FM (или GL(M)) многообразия M.

Понятие G-структур включает в себя различные классические структуры, которые могут быть определены на многообразиях, и которые в некоторых случаях являются тензорными полями. Например, для ортогональной группы O(n)-структура определяет риманову метрику, а для специальной линейной группы SL(n,R)-структура эквивалентна объёмной форме. Для тривиальной группы {e}-структура состоит из абсолютного параллелизма многообразия. Обобщая эту идею на произвольные главные расслоения на топологических пространствах, можно спросить, "происходит ли" главное расслоение над группой из подгруппы . Это называется редукцией структурной группы (до ). Некоторые структуры на многообразиях, такие как комплексная структура, симплектическая структура или кэлерова структура, являются G-структурами с дополнительным условием интегрируемости.

Сокращение структурной группы

Можно спросить, происходит ли главный расслоение над группой из подгруппы этой группы. Это называется редукцией группы структуры (к ), и имеет смысл для любого отображения, которое не обязано быть картой включения (несмотря на терминологию).

Определение

В дальнейшем, пусть X — топологическое пространство, G и H — топологические группы, а φ — групповой гомоморфизм.

В плане бетонных пучков

Для заданного главного расслоения над , редукцией структурной группы (от к ) является расслоение и изоморфизм ассоциированного расслоения на исходное расслоение.

С точки зрения классификации пространств

Для заданной карты, где является классифицирующим пространством для расслоений, редукцией группы структуры называется пара, состоящая из карты и гомотопии.

Свойства и примеры

Сокращения структурной группы не всегда существуют. Если они существуют, то обычно не являются существенно единственными, поскольку изоморфизм является важной частью исходных данных. В качестве конкретного примера, каждое вещественное векторное пространство четной размерности изоморфно базовому вещественному пространству комплексного векторного пространства: оно допускает линейную комплексную структуру. Вещественный векторный расслоение допускает почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно изоморфно базовому вещественному расслоению комплексного векторного расслоения. Это соответствует сокращению вдоль включения GL(n,C) → GL(2n,R).

В терминах переходных отображений, G-расслоение может быть сведено, если и только если переходные отображения можно выбрать со значениями в H. Следует отметить, что термин «сокращение» вводит в заблуждение: он предполагает, что H является подгруппой G, что часто бывает, но не обязательно (например, для спиновых структур): корректнее называть это поднятием. В более абстрактном смысле, «G-расслоения над X» является функтором по G: заданному гомоморфизму группы Ли H → G, получается отображение из H-расслоений в G-расслоения посредством индукции (как описано выше). Сокращение структурной группы G-расслоения B – это выбор H-расслоения, образ которого равен B. Индуцирующее отображение из H-расслоений в G-расслоения, как правило, не является биективным, поэтому структурную группу не всегда можно сократить, и когда это возможно, это сокращение не обязательно единственно. Например, не каждое многообразие ориентируемо, а ориентируемые многообразия допускают ровно две ориентации. Если H является замкнутой подгруппой G, то существует естественное взаимно однозначное соответствие между сокращениями G-расслоения B до H и глобальными сечениями волокнистого расслоения B/H, полученного путем факторизации B по правому действию H. В частности, фибрация B → B/H является главным H-расслоением над B/H. Если σ: X → B/H является сечением, то обратное расслоение BH = σ−1B является сокращением B.

Г-структуры

Каждый векторное расслоение размерности *n* имеет каноническое расслоение – расслоение кадров. В частности, каждое гладкое многообразие имеет каноническое векторное расслоение – касательное расслоение. Для группы Ли *G* и группового гомоморфизма ρ, *G*-структура — это редукция группы структуры расслоения кадров к *G*.

G-структуры высшего порядка

Наложение условий интегрируемости на конкретную G-структуру (например, в случае симплектической формы) может быть рассмотрено посредством пролонгации. В таких случаях пролонгированная G-структура не может быть отождествлена с G-подпучком в расслоении линейных базисов. Однако во многих случаях пролонгация сама по себе является главным расслоением, и ее структурная группа может быть отождествлена с подгруппой группы струй более высокого порядка. В этом случае она называется G-структурой высшего порядка [Kobayashi]. В общем случае, к таким ситуациям применим метод эквивалентности Картана.