Кіріспе

Комплекстік талдауда Фрагмен-Линделов принципі (немесе әдісі) алғаш рет 1908 жылы Ларс Эдвард Фрагмен (1863-1937) және Эрнст Леонард Линделов (1870-1946) ұсынған. Бұл, шектелмеген домендегі голоморфтық функцияның (яғни, ) шектелуін дәлелдеу үшін, оның домендегі өсуін шектейтін қосымша (көбінесе шартты) талап берілген жағдайда қолданылатын көмекші, параметрленген функцияны пайдаланатын техника. Бұл, тек шектелген домендерге ғана қолданылатын максималды модуль принципінің жалпылама түрі болып табылады.

Өмірбаян

Күрделі функциялар теориясында белгілі болғандай, шектелген аймақтың ішкі бөлігіндегі голоморфты (күрделі дифференциалданған) функцияның модулі аймақтың шекарасындағы модулімен шектеледі. Нақтырақ айтқанда, егер тұрақты емес функция шектелген аймақта голоморфты және оның жабылуында үздіксіз болса, онда барлық үшін . Бұл максималды модуль принципі деп аталады. (Шындығында, жинақты және үздіксіз болғандықтан, мұндай бар.) Максималды модуль принципі көбінесе голоморфты функцияның аймақта шектелгенін оның шекарасында шектелгенін көрсеткеннен кейін қорытындыға келу үшін қолданылады. Дегенмен, максималды модуль принципі кешенді жазықтықтың шектелмеген аймағына қолданыла алмайды. Нақты мысал ретінде, шексіз жолақтағы голоморфты функцияның қалай өзгеретінін қарастырайық. дегенімен, шекарасында шектелген, оң нақты осьте тез өседі. Мұндағы қиындық оң нақты осьте өте жылдам өсуінен туындайды. Егер өсім жылдамдығы "өте жылдам" емес екеніне кепілдік берілсе, Phragmén–Lindelöf принципін қолдануға болады, бұл аймақтың шекарасындағы шектелуі бүкіл аймақта шектелгенін көрсетеді, бұл максималды модуль принципін шектелмеген аймақтарға тиімді түрде кеңейтеді.

Техниканың негізгі сипаты

Егер бізге голоморфтық функция және шексіз аймақ берілген болсын, және біз оны көрсетуді қалаймыз. Типик Фрагмен–Линделоф аргументі бойынша, біз белгілі бір көбейтуші коэффициентті енгізеді, ол өсуін "бас басуға" мүмкіндік береді. Атап айтқанда, (i) барлық үшін голоморфты және тиісті шектелген аймақтың шекарасында; және (ii) асимптотикалық мінез-құлқы бізге (яғни шектелген аймақтың жабылуынан тыс) үшін оны орнатуға мүмкіндік береді. Бұл бізге максималды модуль принципін қолданып, ең алдымен -да екенін қорытуға, содан кейін қорытындыны барлық -ға дейін кеңейтуге мүмкіндік береді. Соңында, біз болатындай етіп таңдаймыз, осылайша -ның әрқайсысы үшін -да екенін қорытуға болады.

Комплекстік анализ әдебиетінде, әртүрлі типтегі шексіз аймақтарға қолданылған Фрагмен–Линделоф принципінің көптеген мысалдары бар, сондай-ақ осы принциптің нұсқасы субгармоникалық және супергармоникалық функцияларға ұқсас тәсілмен қолданылуы мүмкін.

Ерекше жағдайлар

Іс жүзінде 0 нүктесі Риман сферасының ∞ нүктесіне трансформацияланады. Бұл, мысалы, күрделі жазықтықтағы тұрақты нақты бөлігі бар екі түзумен шектелген жолақтар үшін қолданылатын принциптің бір түрін ұсынады. Бұл ерекше жағдай кейде Линделоф теоремасы деп аталады. Карлсон теоремасы – қиял осінде шектелген функцияларға принципті қолданудың бір мысалы.