Введение

В комплексном анализе принцип (или метод) Фрагмена — Линделёфа, впервые сформулированный Ларсом Эдвардом Фрагменом (1863–1937) и Эрнстом Леонардом Линделёфом (1870–1946) в 1908 году, представляет собой метод, использующий вспомогательную параметризованную функцию для доказательства ограниченности голоморфной функции (т. е. аналитической функции) на неограниченной области при заданном дополнительном (обычно нестрогом) условии, ограничивающем рост функции на этой области. Это обобщение принципа максимума модуля, который применим только к ограниченным областям.

Предыстория

В теории комплексных функций известно, что модуль (абсолютное значение) голоморфной (комплексно дифференцируемой) функции внутри ограниченной области ограничен ее модулем на границе этой области. Более точно, если неконстантная функция голоморфна в ограниченной области и непрерывна на ее замыкании, то для всех. Это известно как принцип максимума модуля. (На самом деле, поскольку область компактна, а функция непрерывна, существует такое , что .) Принцип максимума модуля обычно используется для заключения об ограниченности голоморфной функции в области после доказательства ее ограниченности на границе. Однако принцип максимума модуля нельзя применить к неограниченной области комплексной плоскости. В качестве конкретного примера рассмотрим поведение голоморфной функции в неограниченной полосе.

Хотя функция ограничена на границе, она неограниченно быстро растет вдоль положительной вещественной оси. Трудность здесь заключается в чрезвычайно быстром росте вдоль положительной вещественной оси. Если гарантировано, что скорость роста не является "слишком большой", как это определено соответствующим условием роста, то принцип Фрагмена — Линделёфа можно применить для доказательства того, что ограниченность функции на границе области влечет за собой ее ограниченность во всей области, тем самым эффективно расширяя принцип максимума модуля на неограниченные области.

Конспект техники

Предположим, что нам дана голоморфная функция и неограниченная область , и мы хотим показать, что на . В типичном аргументе Фрагмена — Линделёфа мы вводим некоторый мультипликативный фактор , удовлетворяющий , чтобы "ослабить" рост функции . В частности, выбирается таким образом, что (i): является голоморфным для всех и на границе соответствующей ограниченной подобласти ; и (ii): асимптотическое поведение позволяет нам установить, что для (то есть, для неограниченной части области вне замыкания ограниченной подобласти). Это позволяет нам применить принцип максимума модуля, чтобы сначала заключить, что на , а затем распространить это заключение на всю область . Наконец, мы выбираем так, чтобы для каждого , чтобы заключить, что на .

В литературе по комплексному анализу существует множество примеров применения принципа Фрагмена — Линделёфа к неограниченным областям различных типов, а также версия этого принципа может быть применена аналогичным образом к субагармоническим и супергармоническим функциям.

Особые случаи

На практике точка 0 часто преобразуется в точку ∞ сферы Римана. Это дает вариант принципа, применимый, например, к полосам, ограниченным двумя линиями с постоянной вещественной частью в комплексной плоскости. Этот частный случай иногда называют теоремой Линделёфа. Теорема Карлсона является применением этого принципа к функциям, ограниченным на мнимой оси.