Кіріспе
Математикада Z функциясы – Риманның зетта-функциясын, аргументі бір жарымға тең болатын сындық түзу бойымен зерттеуге қолданылатын функция. Ол Риман-Сигель Z функциясы, Риман-Сигель зетта-функциясы, Харди функциясы, Харди Z функциясы және Харди зетта-функциясы деп те аталады. Оны Риман-Сигель тета-функциясы және Риман зетта-функциясы арқылы анықтауға болады.
Риман зетта-функциясының функционалдық теңдеуінен Z функциясы t-ның нақты мәндері үшін нақты болады. Бұл жұп функция және нақты мәндер үшін нақты аналитикалық. Риман-Сигель тета-функциясы мен Риман зетта-функциясы екеуі де сындық жолақта голоморфты, мұнда t-ның жолғары бөлігі -1/2 мен 1/2 аралығында, сондықтан Z функциясы да сындық жолақта голоморфты болады. Сонымен қатар, Z(t)-ның нақты нөлдері сындық түзу бойымен зетта-функциясының нөлдерімен сәйкес келеді, ал Z функциясының сындық жолағындағы кешенді нөлдер, Риман зетта-функциясының сындық жолағындағы сындық түзуден тыс нөлдерге сәйкес келеді.
Омега теоремасы
Z функциясының нөлдерінің әсерінен, ол тербеліс тәрізді мінез-құлық көрсетеді. Ол орташа және ең жоғары мәндері бойынша да баяу өседі. Мысалы, Риман гипотезасының болмауына қарамастан, Омега теоремасы бар, ол:
мұндағы белгілеу t-ның өсуімен Ω ішіндегі функцияға бөлінген шаманың нөлге ұмтылмауын білдіреді.
Линделоф гипотезасы
Жоғары дәрежелі қуаттар көп зерттелді, бірақ сәйкес орташа мәні туралы аз мәлім. Риман гипотезасынан, кез келген оң ε үшін былай деп болжанады:
for every positive ε. Here the little "o" notation means that the left hand side divided by the right hand side does converge to zero; in other words little o is the negation of Ω. This conjecture is called the Lindelöf hypothesis, and is weaker than the Riemann hypothesis. It is normally stated in an important equivalent form, which is
in either form it tells us the rate of growth of the peak values cannot be too high. The best known bound on this rate of growth is not strong, telling us that any is suitable. It would be astonishing to find that the Z function grew anywhere close to as fast as this. Littlewood proved that on the Riemann hypothesis,
and this seems far more likely.
Мұндағы кішкентай "o" белгісі сол жақ бөлігінің оң жақ бөлікке қатынасы нөлге жақындайтынын білдіреді; яғни, кішкентай "o" - Ω-ның керісі. Бұл болжам Линделоф гипотезасы деп аталады және Риман гипотезасынан әлсіз. Ол әдетте маңызды эквивалентті түрінде айтылады, ол екі түрінде де ең жоғары мәндердің өсу жылдамдығы тым жоғары болмайтынын көрсетеді. Бұл өсу жылдамдығының ең жақсы белгілі шегі күшті емес, кез келген мәнге жарайтынын көрсетеді. Z функциясы осы жылдамдықпен өссе, бұл таң қалдырарлық болар еді. Литтлвуд Риман гипотезасы бойынша былай дәлелдеді:
for every positive ε. Here the little "o" notation means that the left hand side divided by the right hand side does converge to zero; in other words little o is the negation of Ω. This conjecture is called the Lindelöf hypothesis, and is weaker than the Riemann hypothesis. It is normally stated in an important equivalent form, which is
in either form it tells us the rate of growth of the peak values cannot be too high. The best known bound on this rate of growth is not strong, telling us that any is suitable. It would be astonishing to find that the Z function grew anywhere close to as fast as this. Littlewood proved that on the Riemann hypothesis,
and this seems far more likely.
және бұл көбірек мүмкін көрінеді.
for every positive ε. Here the little "o" notation means that the left hand side divided by the right hand side does converge to zero; in other words little o is the negation of Ω. This conjecture is called the Lindelöf hypothesis, and is weaker than the Riemann hypothesis. It is normally stated in an important equivalent form, which is
in either form it tells us the rate of growth of the peak values cannot be too high. The best known bound on this rate of growth is not strong, telling us that any is suitable. It would be astonishing to find that the Z function grew anywhere close to as fast as this. Littlewood proved that on the Riemann hypothesis,
and this seems far more likely.