Введение

В математике функция Z — функция, используемая для изучения функции Римана-дзета вдоль критической прямой, где аргумент равен одной половине. Она также называется функцией Римана — Зигеля Z, функцией Римана — Зигеля дзета, функцией Харди, функцией Харди Z и функцией Харди дзета. Она может быть определена через тета-функцию Римана — Зигеля и дзета-функцию Римана следующим образом:

Из функционального уравнения дзета-функции Римана следует, что функция Z является вещественной для вещественных значений t. Это чётная функция и вещественно аналитическая для вещественных значений. Поскольку тета-функция Римана — Зигеля и дзета-функция Римана голоморфны в критической полосе, где мнимая часть t находится между −1/2 и 1/2, то функция Z также голоморфна в критической полосе. Более того, вещественные нули Z(t) точно соответствуют нулям дзета-функции на критической прямой, а комплексные нули в критической полосе функции Z соответствуют нулям вне критической прямой дзета-функции Римана в её критической полосе.

Теорема Омега

Из-за нулей Z-функции она демонстрирует колебательное поведение. Она также медленно возрастает как в среднем, так и по максимальным значениям. Например, даже без гипотезы Римана, существует теорема Омега, которая утверждает, что

где обозначение означает, что отношение к функции внутри Ω не стремится к нулю при увеличении t.

Гипотеза Линделофа

Высшие степени с более высокими показателями были тщательно изучены, но о соответствующем среднем значении известно меньше. Предполагается, и следует из гипотезы Римана, что для любого положительного ε. Здесь обозначение "o" в малом означает, что левая часть, делённая на правую, стремится к нулю; другими словами, "o" в малом – это отрицание Ω. Эта гипотеза называется гипотезой Линделёфа и является более слабой, чем гипотеза Римана. Обычно она формулируется в важном эквивалентном виде, который в любой из этих форм говорит нам о том, что скорость роста максимальных значений не может быть слишком высокой. Наилучшая известная оценка этой скорости роста не является сильной, указывая на то, что любой показатель подходит. Было бы удивительно обнаружить, что функция Z растёт хоть где-то близко к такой же скорости. Литтлвуд доказал, что при условии гипотезы Римана, и это представляется гораздо более вероятным.