Математикалық вариациялық теңсіздіктер тарихы және дамуы
Variational inequality
Математикада вариациялық теңсіздіктер – функциялармен байланысты, дөңгелек жиынға жататын айнымалылар үшін шешілетін теңсіздіктер. Экономика, ойындар теориясы және басқа да салаларда қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада вариациялық теңсіздік – функционалды қамтитын теңсіздік, оны белгілі бір айнымалының барлық мүмкін мәндері үшін шешу қажет, әдетте бұл айнымалы дөңес жиынға жатады. Вариациялық теңсіздіктердің математикалық теориясы бастапқыда тепе-теңдік мәселелерін, атап айтқанда Синьорини мәселесін шешу үшін жасалған: сол модельдік мәселеде қолданылған функционал, қатысты әлеуеттік энергияның бірінші вариациясы ретінде алынған. Сондықтан, оның вариациялық табиғаты бар, ол жалпы абстрактілі мәселенің атында көрсетілген. Теорияның қолданылу аясы содан бері экономика, қаржы, оптимизация және ойын теориясы салаларындағы мәселелерді де қамтиды.
In mathematics, a variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The mathematical theory of variational inequalities was initially developed to deal with equilibrium problems, precisely the Signorini problem: in that model problem, the functional involved was obtained as the first variation of the involved potential energy. Therefore, it has a variational origin, recalled by the name of the general abstract problem. The applicability of the theory has since been expanded to include problems from economics, finance, optimization and game theory.
Тарих
Вариациялық теңсіздікке қатысты алғашқы мәселе – Антонио Синьоринидің 1959 жылы қойған және 1963 жылы Гаэтано Фичера шешкен Синьорини мәселесі. Дереккөздерге сәйкес, теорияның алғашқы еңбектері: және . Кейін Гидо Стампаччиа бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін жүйелілік мәселесін зерттеу мақсатында Лакс-Милграм теоремасын жалпылады және осы сияқты теңсіздіктерді қамтитын барлық мәселелер үшін "вариациялық теңсіздік" деген атауды енгізді. Жорж Дюво 1965 жылы Бриксенде өткен конференцияда Фичераның Синьорини мәселесі жөніндегі баяндамасын тыңдағаннан кейін, өзінің аспиранттарын Фичераның жұмысын зерттеуге және кеңейтуге ынталандырды, сондай-ақ хабарлайды: осылайша теория Францияда кеңінен танымал болды. 1965 жылы Стампаччиа мен Жак Луи Лайонс бұрынғы нәтижелерін кеңейтіп, оларды мақалада жариялады: олардың нәтижелерінің толық дәлелдемелері кейіннен мақалада жарық көрді.
The first problem involving a variational inequality was the Signorini problem, posed by Antonio Signorini in 1959 and solved by Gaetano Fichera in 1963, according to the references and : the first papers of the theory were and , Later on, Guido Stampacchia proved his generalization to the Lax–Milgram theorem in in order to study the regularity problem for partial differential equations and coined the name "variational inequality" for all the problems involving inequalities of this kind. Georges Duvaut encouraged his graduate students to study and expand on Fichera's work, after attending a conference in Brixen on 1965 where Fichera presented his study of the Signorini problem, as reports: thus the theory become widely known throughout France. Also in 1965, Stampacchia and Jacques Louis Lions extended earlier results of , announcing them in the paper : full proofs of their results appeared later in the paper .
Тарихи сілтемелер
Эластикалық теория мен математикалық талдаудың жемісті өзара әрекеттесуі туралы тарихи мақала: Гаэтано Фичераның вариациялық теңсіздіктер теориясын жасауы §5-те, 282–284 беттерде сипатталған. Вариациялық теңсіздіктер саласын, әсіресе бір жақты шектеулермен үздіксіз механика мәселелерінің тармағын қамтитын қысқаша зерттеу шолуы. «Отыз жылдан кейін еске түсірілген вариациялық теңсіздіктер теориясының тууы» (атауының ағылшын тіліндегі аудармасы) – бұл теорияның негізін қалаушының көзқарасынан вариациялық теңсіздіктер теориясының басталуын баяндайтын тарихи еңбек.
. An historical paper about the fruitful interaction of elasticity theory and mathematical analysis: the creation of the theory of variational inequalities by Gaetano Fichera is described in §5, pages 282–284. A brief research survey describing the field of variational inequalities, precisely the sub field of continuum mechanics problems with unilateral constraints. The birth of the theory of variational inequalities remembered thirty years later (English translation of the title) is an historical paper describing the beginning of the theory of variational inequalities from the point of view of its founder.
Ғылыми еңбектер
. Синьорини проблемасының шешімін хабарлап, сипаттайтын (дәлелдерсіз) қысқаша ғылыми ескерту. Синьорини проблемасы үшін барлық және бірегейлік теоремасы дәлелденген алғашқы мақала. Gallica сайтында қолжетімді ағылшын тіліне аудармасы. мақаласының нәтижелерін жариялау. Авторлардың вариациялық теңсіздіктер теориясына қатысты абстрактілі тәсілін сипаттайтын маңызды жұмыс. , Gallica сайтында қолжетімді. Стампаччианың Лакс-Мильграм теоремасын кеңейткен мақала.
. A short research note announcing and describing (without proofs) the solution of the Signorini problem. The first paper where an existence and uniqueness theorem for the Signorini problem is proved. An English translation of , available at Gallica. Announcements of the results of paper . An important paper, describing the abstract approach of the authors to the theory of variational inequalities. , available at Gallica. The paper containing Stampacchia's generalization of the Lax–Milgram theorem.