Вариационные неравенства: история и развитие теории
Variational inequality
Вариационные неравенства в математике: определение, применение в экономике, финансах и теории игр. История развития от задачи Синьорини до теоремы Лакса-Милграма.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике вариационное неравенство — это неравенство, включающее функционал, которое необходимо решать для всех возможных значений заданной переменной, обычно принадлежащей выпуклому множеству. Математическая теория вариационных неравенств первоначально разрабатывалась для решения задач об равновесии, в частности, проблемы Синьорини: в этой модельной задаче использованный функционал был получен как первая вариация соответствующей потенциальной энергии. Таким образом, она имеет вариационное происхождение, что отражено в названии общей абстрактной задачи. С тех пор область применения теории расширилась и охватила задачи из экономики, финансов, оптимизации и теории игр.
In mathematics, a variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The mathematical theory of variational inequalities was initially developed to deal with equilibrium problems, precisely the Signorini problem: in that model problem, the functional involved was obtained as the first variation of the involved potential energy. Therefore, it has a variational origin, recalled by the name of the general abstract problem. The applicability of the theory has since been expanded to include problems from economics, finance, optimization and game theory.
История
Первой проблемой, связанной с вариационным неравенством, была проблема Синьорини, поставленная Антонио Синьорини в 1959 году и решенная Гаэтано Фичерой в 1963 году, согласно работам и : первыми работами по этой теории были и . Позже Гидо Стампаччиа доказал свое обобщение теоремы Лакса — Мильграма в , чтобы изучить проблему регулярности для уравнений в частных производных и ввел термин "вариационное неравенство" для всех проблем, включающих неравенства подобного типа. Жорж Дюво призвал своих аспирантов изучать и развивать работу Фишеры после посещения конференции в Бриксена в 1965 году, где Фишера представил свое исследование проблемы Синьорини, как сообщает : таким образом, теория получила широкую известность во Франции. Также в 1965 году Стампаччиа и Жак Луи Лайонс расширили более ранние результаты , представив их в статье : полные доказательства их результатов были опубликованы позднее в статье .
The first problem involving a variational inequality was the Signorini problem, posed by Antonio Signorini in 1959 and solved by Gaetano Fichera in 1963, according to the references and : the first papers of the theory were and , Later on, Guido Stampacchia proved his generalization to the Lax–Milgram theorem in in order to study the regularity problem for partial differential equations and coined the name "variational inequality" for all the problems involving inequalities of this kind. Georges Duvaut encouraged his graduate students to study and expand on Fichera's work, after attending a conference in Brixen on 1965 where Fichera presented his study of the Signorini problem, as reports: thus the theory become widely known throughout France. Also in 1965, Stampacchia and Jacques Louis Lions extended earlier results of , announcing them in the paper : full proofs of their results appeared later in the paper .
Исторические ссылки
Историческая работа о плодотворном взаимодействии теории упругости и математического анализа: создание теории вариационных неравенств Гаэтано Фичерой описано в §5, стр. 282–284. Краткий обзор исследований, описывающий область вариационных неравенств, в частности, подраздел задач механики сплошных сред с односторонними ограничениями. Статья "Рождение теории вариационных неравенств, вспомненное тридцать лет спустя" (английский перевод названия) – это историческая работа, описывающая начало теории вариационных неравенств с точки зрения ее создателя.
. An historical paper about the fruitful interaction of elasticity theory and mathematical analysis: the creation of the theory of variational inequalities by Gaetano Fichera is described in §5, pages 282–284. A brief research survey describing the field of variational inequalities, precisely the sub field of continuum mechanics problems with unilateral constraints. The birth of the theory of variational inequalities remembered thirty years later (English translation of the title) is an historical paper describing the beginning of the theory of variational inequalities from the point of view of its founder.
Научные работы
. . Краткая исследовательская заметка, объявляющая и описывающая (без доказательств) решение проблемы Синьорини. Первая работа, в которой доказана теорема о существовании и единственности решения проблемы Синьорини. Английский перевод , доступен на Gallica. Сообщения о результатах работы . Важная работа, описывающая абстрактный подход авторов к теории вариационных неравенств. , доступна на Gallica. Работа, содержащая обобщение теоремы Лакса — Мильграма, выполненное Стампаккьей.
. A short research note announcing and describing (without proofs) the solution of the Signorini problem. The first paper where an existence and uniqueness theorem for the Signorini problem is proved. An English translation of , available at Gallica. Announcements of the results of paper . An important paper, describing the abstract approach of the authors to the theory of variational inequalities. , available at Gallica. The paper containing Stampacchia's generalization of the Lax–Milgram theorem.