Кіріспе
Математикада, күрделі талдауға ерекше қатысты, қалыпты отбасы – үздіксіз функциялар кеңістігінің алдын ала жинақталған ішкі жиыны. Бұл, бейресми түрде, отбасыдағы функциялар кеңінен шашырап жатпайды, керісінше, белгілі бір дәрежеде "шоғырланған" күйде бірігіп тұрады дегенді білдіреді. Бірқалыпты үздіксіз функциялардың компактты отбасы автоматты түрде қалыпты отбасы болып табылады екенін ескеріңіз. Кейде, егер қалыпты отбасы F-дегі әрбір функция белгілі бір қасиетті қанағаттандырса (мысалы, голоморфты болса), онда бұл қасиет F жиынының әрбір шекті нүктесі үшін де орындалады.
then the property also holds for each limit point of the set F.
Формальдырақ айтқанда, X және Y топологиялық кеңістіктер болсын. Үздіксіз функциялар жиыны компактты-ашық топология деп аталатын табиғи топологияға ие. Қалыпты отбасы – осы топологияға қатысты алдын ала жинақталған ішкі жиын. Егер Y метрикалық кеңістік болса, онда компактты-ашық топологиясы компактты конverгенция топологиясына тең болады және біз классикалық анықтамаға жақын анықтама аламыз: Үздіксіз функциялар жиыны F қалыпты отбасы деп аталады, егер F-дегі функциялардың әрбір тізбегі X-тің компактты ішкі жиындарының үстінде X-тен Y-ге дейінгі үздіксіз функцияға біркелкі конverгенцияланатын кіші тізбекті қамтитын болса. Яғни, F функцияларының әрбір тізбегі үшін X-тен Y-ге дейінгі кіші тізбек және үздіксіз функция бар, сондықтан X-тегі кез келген K компактты ішкі жиыны үшін келесі орындалады:
if every sequence of functions in F contains a subsequence which converges uniformly on compact subsets of X to a continuous function from X to Y. That is, for every sequence of functions in F, there is a subsequence and a continuous function from X to Y such that the following holds for every compact subset K contained in X:
, мұнда – Y метрикасы.
Голоморфты функциялардың қалыпты отбасылары
Бұл ұғым кешенді талдауда туындады, яғни голоморфты функцияларды зерттеуде. Бұл жағдайда X – кешен жазықтықтың ашық ішкі жиыны, Y – кешен жазықтық, ал Y-дегі метрика берілген. Коши интегралды теоремасының салдары ретінде, компакт жиындарда біркелкі жақындасатын голоморфты функциялар тізбегі голоморфты функцияға жақындасуы керек. Яғни, қалыпты отбасының кез келген лимиттік нүктесі голоморфты болады. Голоморфты функциялардың қалыпты отбасылары Риманнің бейнелеу теоремасын дәлелдеудің ең жылдам жолын ұсынады. Көбірек айтқанда, егер X және Y кеңістіктері Риман беттері болса, ал Y біртектілік теоремасынан туындаған метрикамен жабдықталған болса, онда голоморфты функциялардың қалыпты отбасының кез келген лимиттік нүктесі де голоморфты болады. Мысалы, егер Y – Риман сферасы болса, онда біртектілік метрикасы сфералық қашықтық болып табылады. Бұл жағдайда X-тен Y-ге дейінгі голоморфты функция мероморфты функция деп аталады, сондықтан мероморфты функциялардың қалыпты отбасының кез келген лимиттік нүктесі мероморфты функция болып табылады.
converge to a holomorphic function. That is, each limit point of a normal family is holomorphic. Normal families of holomorphic functions provide the quickest way of proving the Riemann mapping theorem. More generally, if the spaces X and Y are Riemann surfaces, and Y is equipped with the metric coming from the uniformization theorem, then each limit point of a normal family of holomorphic functions is also holomorphic. For example, if Y is the Riemann sphere, then the metric of uniformization is the spherical distance. In this case, a holomorphic function from X to Y is called a meromorphic function, and so each limit point of a normal family of meromorphic functions is a meromorphic function.
Тарих
Пол Монтель 1911 жылы "нормальды отбасы" терминін алғаш рет қолданды. Күрделі талдау үшін нормальды отбасы түсінігі үнемі маңызды болғандықтан, Монтельдің терминологиясы бүгінгі күнге дейін қолданылып келеді, тіпті қазіргі заманғы көзқарас бойынша кейбір математиктер "алдын ала ықшам жиынтық" деген сөзді қолдануды ұнатса да. Қатыстысы бойынша, ықшам ашық топология түсінігі осы ұғымды кеңейтіп, түсіндірсе де, көптеген қолданбаларда бастапқы анықтама тиімдірек болып табылады.