Введение
В математике, с особым применением к комплексному анализу, нормальное семейство — это предварительно компактное подмножество пространства непрерывных функций. Неформально это означает, что функции в семействе не сильно разбросаны, а скорее сгруппированы в некоторой "кластерной" манере. Следует отметить, что компактное семейство непрерывных функций автоматически является нормальным семейством. Иногда, если каждая функция в нормальном семействе F удовлетворяет определенному свойству (например, голоморфна), то это свойство также выполняется для каждой предельной точки множества F.
then the property also holds for each limit point of the set F.
Более формально, пусть X и Y — топологические пространства. Множество непрерывных функций имеет естественную топологию, называемую компактно-открытой топологией. Нормальное семейство — это предварительно компактное подмножество относительно этой топологии. Если Y — метрическое пространство, то компактно-открытая топология эквивалентна топологии компактной сходимости, и мы получаем определение, более близкое к классическому: коллекция F непрерывных функций называется нормальным семейством, если любая последовательность функций в F содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся на компактных подмножествах X к непрерывной функции из X в Y. То есть, для любой последовательности функций в F существует подпоследовательность и непрерывная функция из X в Y, такие что следующее выполняется для каждого компактного подмножества K, содержащегося в X:
if every sequence of functions in F contains a subsequence which converges uniformly on compact subsets of X to a continuous function from X to Y. That is, for every sequence of functions in F, there is a subsequence and a continuous function from X to Y such that the following holds for every compact subset K contained in X:
где — метрика в Y.
Нормальные семьи голоморфных функций
Концепция возникла в комплексном анализе, то есть в изучении голоморфных функций. В этом случае X — открытое подмножество комплексной плоскости, Y — комплексная плоскость, а метрика на Y задается выражением. Как следствие теоремы Коши об интегралах, последовательность голоморфных функций, равномерно сходящаяся на компактных множествах, должна сходиться к голоморфной функции. То есть, каждая предельная точка нормального семейства является голоморфной. Нормальные семейства голоморфных функций предоставляют наиболее быстрый способ доказательства теоремы Римана о отображениях. В более общем случае, если пространства X и Y являются римановыми поверхностями, а Y снабжено метрикой, полученной из теоремы об униформизации, то каждая предельная точка нормального семейства голоморфных функций также является голоморфной. Например, если Y — сфера Римана, то метрикой униформизации является сферическое расстояние. В этом случае голоморфная функция из X в Y называется мероморфной функцией, и, следовательно, каждая предельная точка нормального семейства мероморфных функций является мероморфной функцией.
converge to a holomorphic function. That is, each limit point of a normal family is holomorphic. Normal families of holomorphic functions provide the quickest way of proving the Riemann mapping theorem. More generally, if the spaces X and Y are Riemann surfaces, and Y is equipped with the metric coming from the uniformization theorem, then each limit point of a normal family of holomorphic functions is also holomorphic. For example, if Y is the Riemann sphere, then the metric of uniformization is the spherical distance. In this case, a holomorphic function from X to Y is called a meromorphic function, and so each limit point of a normal family of meromorphic functions is a meromorphic function.
История
Пол Монтель впервые ввёл термин "нормальная семья" в 1911 году. Поскольку понятие нормальной семьи постоянно имело большое значение для комплексного анализа, терминология Монтеля используется и по сей день, хотя с современной точки зрения некоторые математики могли бы предпочесть фразу "предкомпактное подмножество". Следует отметить, что хотя понятие компактно-открытой топологии обобщает и уточняет эту концепцию, в многих приложениях исходное определение остаётся более удобным.