Кіріспе
Үшбұрышты қиып өтетін түзу арқылы түзілген сызық сегменттеріндегі геометриялық қатынас. Евклид геометриясында, Александриялық Менелайдың есімімен аталған Менелай теоремасы – жазық геометриядағы үшбұрыштар туралы теорема. Егер бізде △ABC үшбұрышы және BC, AC, AB түзулерін D, E, F нүктелерінде қиып өтетін көлденең түзу болса, және D, E, F нүктелері A, B, C нүктелерінен өзгеше болса, теореманың әлсіз нұсқасы былай жазылады:
In Euclidean geometry, Menelaus's theorem, named for Menelaus of Alexandria, is a proposition about triangles in plane geometry. Suppose we have a triangle △ABC, and a transversal line that crosses BC, AC, AB at points D, E, F respectively, with D, E, F distinct from A, B, C. A weak version of the theorem states that
where "| |" denotes absolute value (i. e., all segment lengths are positive). The theorem can be strengthened to a statement about signed lengths of segments, which provides some additional information about the relative order of collinear points. Here, the length is taken to be positive or negative according to whether A is to the left or right of B in some fixed orientation of the line; for example, is defined as having positive value when F is between A and B and negative otherwise. The signed version of Menelaus's theorem states
Equivalently,
Some authors organize the factors differently and obtain the seemingly different relation
but as each of these factors is the negative of the corresponding factor above, the relation is seen to be the same. The converse is also true: If points D, E, F are chosen on BC, AC, AB respectively so that
then D, E, F are collinear. The converse is often included as part of the theorem. (Note that the converse of the weaker, unsigned statement is not necessarily true.) The theorem is very similar to Ceva's theorem in that their equations differ only in sign. By re writing each in terms of cross ratios, the two theorems may be seen as projective duals.
мұндағы "| |" абсолюттік мәнді білдіреді (яғни барлық сегмент ұзындығы оң). Теорема сегменттердің таңбаланған ұзындығы туралы мәлімдемеге күшейтілуі мүмкін, бұл бір түзудің бойындағы нүктелердің салыстырмалы орналасуы туралы қосымша ақпарат береді. Мұнда ұзындық A нүктесінің B нүктесіне қарағанда сол жақта немесе оң жақта орналасуына байланысты оң немесе теріс деп қабылданады; мысалы, егер F нүктесі A мен B арасында болса, онда ол оң мәнге ие, әйтпесе теріс мәнге ие. Менелай теоремасының таңбаланған нұсқасы былай жазылады:
In Euclidean geometry, Menelaus's theorem, named for Menelaus of Alexandria, is a proposition about triangles in plane geometry. Suppose we have a triangle △ABC, and a transversal line that crosses BC, AC, AB at points D, E, F respectively, with D, E, F distinct from A, B, C. A weak version of the theorem states that
where "| |" denotes absolute value (i. e., all segment lengths are positive). The theorem can be strengthened to a statement about signed lengths of segments, which provides some additional information about the relative order of collinear points. Here, the length is taken to be positive or negative according to whether A is to the left or right of B in some fixed orientation of the line; for example, is defined as having positive value when F is between A and B and negative otherwise. The signed version of Menelaus's theorem states
Equivalently,
Some authors organize the factors differently and obtain the seemingly different relation
but as each of these factors is the negative of the corresponding factor above, the relation is seen to be the same. The converse is also true: If points D, E, F are chosen on BC, AC, AB respectively so that
then D, E, F are collinear. The converse is often included as part of the theorem. (Note that the converse of the weaker, unsigned statement is not necessarily true.) The theorem is very similar to Ceva's theorem in that their equations differ only in sign. By re writing each in terms of cross ratios, the two theorems may be seen as projective duals.
Балама түрінде:
In Euclidean geometry, Menelaus's theorem, named for Menelaus of Alexandria, is a proposition about triangles in plane geometry. Suppose we have a triangle △ABC, and a transversal line that crosses BC, AC, AB at points D, E, F respectively, with D, E, F distinct from A, B, C. A weak version of the theorem states that
where "| |" denotes absolute value (i. e., all segment lengths are positive). The theorem can be strengthened to a statement about signed lengths of segments, which provides some additional information about the relative order of collinear points. Here, the length is taken to be positive or negative according to whether A is to the left or right of B in some fixed orientation of the line; for example, is defined as having positive value when F is between A and B and negative otherwise. The signed version of Menelaus's theorem states
Equivalently,
Some authors organize the factors differently and obtain the seemingly different relation
but as each of these factors is the negative of the corresponding factor above, the relation is seen to be the same. The converse is also true: If points D, E, F are chosen on BC, AC, AB respectively so that
then D, E, F are collinear. The converse is often included as part of the theorem. (Note that the converse of the weaker, unsigned statement is not necessarily true.) The theorem is very similar to Ceva's theorem in that their equations differ only in sign. By re writing each in terms of cross ratios, the two theorems may be seen as projective duals.
Кейбір авторлар факторларды басқа тәртіпте жазады және келесідей көрінетін қатынасқа жетеді:
In Euclidean geometry, Menelaus's theorem, named for Menelaus of Alexandria, is a proposition about triangles in plane geometry. Suppose we have a triangle △ABC, and a transversal line that crosses BC, AC, AB at points D, E, F respectively, with D, E, F distinct from A, B, C. A weak version of the theorem states that
where "| |" denotes absolute value (i. e., all segment lengths are positive). The theorem can be strengthened to a statement about signed lengths of segments, which provides some additional information about the relative order of collinear points. Here, the length is taken to be positive or negative according to whether A is to the left or right of B in some fixed orientation of the line; for example, is defined as having positive value when F is between A and B and negative otherwise. The signed version of Menelaus's theorem states
Equivalently,
Some authors organize the factors differently and obtain the seemingly different relation
but as each of these factors is the negative of the corresponding factor above, the relation is seen to be the same. The converse is also true: If points D, E, F are chosen on BC, AC, AB respectively so that
then D, E, F are collinear. The converse is often included as part of the theorem. (Note that the converse of the weaker, unsigned statement is not necessarily true.) The theorem is very similar to Ceva's theorem in that their equations differ only in sign. By re writing each in terms of cross ratios, the two theorems may be seen as projective duals.
бірақ осы факторлардың әрқайсысы жоғарыдағы сәйкес фактордың теріс мәні болғандықтан, қатынас бірдей болады. Кері теорема да дұрыс: егер D, E, F нүктелері BC, AC, AB түзулерінде таңдалса, онда D, E, F нүктелері бір түзудің бойында жатады. Кері теорема көбінесе теореманың бір бөлігі ретінде қосылады. (Әлсіз, таңбасыз мәлімдеменің керісінше міндетті түрде дұрыс емес екеніне назар аударыңыз.) Бұл теорема Сева теоремасына өте ұқсас, олардың теңдеулері тек таңбасымен ғана ерекшеленеді. Екі теореманы қиылысу қатынастары арқылы қайта жазу арқылы, оларды проективтік дуалдар ретінде қарастыруға болады.
In Euclidean geometry, Menelaus's theorem, named for Menelaus of Alexandria, is a proposition about triangles in plane geometry. Suppose we have a triangle △ABC, and a transversal line that crosses BC, AC, AB at points D, E, F respectively, with D, E, F distinct from A, B, C. A weak version of the theorem states that
where "| |" denotes absolute value (i. e., all segment lengths are positive). The theorem can be strengthened to a statement about signed lengths of segments, which provides some additional information about the relative order of collinear points. Here, the length is taken to be positive or negative according to whether A is to the left or right of B in some fixed orientation of the line; for example, is defined as having positive value when F is between A and B and negative otherwise. The signed version of Menelaus's theorem states
Equivalently,
Some authors organize the factors differently and obtain the seemingly different relation
but as each of these factors is the negative of the corresponding factor above, the relation is seen to be the same. The converse is also true: If points D, E, F are chosen on BC, AC, AB respectively so that
then D, E, F are collinear. The converse is often included as part of the theorem. (Note that the converse of the weaker, unsigned statement is not necessarily true.) The theorem is very similar to Ceva's theorem in that their equations differ only in sign. By re writing each in terms of cross ratios, the two theorems may be seen as projective duals.
Гомотезияларды қолдану арқылы дәлелдеу
Келесі дәлелдеуде тек аффиндік геометрияның ұғымдары, атап айтқанда гомотезиялар қолданылады. D, E, F түзу бойында жата ма, жатпай ма, араларында үш гомотезия бар, олардың орталықтары D, E, F, және олар B нүктесін C нүктесіне, C нүктесін A нүктесіне, ал A нүктесін B нүктесіне сәйкес жібереді. Осы үш гомотезияның қосылысы B нүктесін өзгеріссіз қалдыратын гомотетиялық түрлендірулер тобының бір елеуі болады, сондықтан ол B нүктесіндегі гомотетия болады, мүмкін қатынасы 1-ге тең (мұндай жағдайда ол өздік түрлендіру болады). Бұл қосылыс DE түзуін тек қана F нүктесі D және E нүктелерімен бір түзу бойында жатқанда ғана өзгеріссіз қалдырады (өйткені алғашқы екі гомотезия DE түзуін өзгеріссіз қалдырады, ал үшіншісі тек қана F нүктесі DE түзуінде жатқанда ғана осыны істейді). Демек, D, E, F түзу бойында жатады, егер және тек қана осы қосылыс өздік түрлендіру болса, яғни үш қатынастың көбейтіндісінің абсолют шамасы 1-ге тең болса:
Бұл берілген теңдеуге эквивалентті.
Тарих
Теореманы кім ашқандығы белгісіз, бірақ ең көне сақталған түсіндірме Менелайдың "Сфералар" еңбегінде кездеседі. Бұл кітапта теореманың жазық түрі, теореманың сфералық түрін дәлелдеу үшін лемма ретінде қолданылады. Птолемей "Алмагест" еңбегінде теореманы сфералық астрономиядағы бірнеше мәселелерге қолданады. Исламның алтын ғасырында мұсылман ғалымдары Менелай теоремасын зерттеуге арналған көптеген еңбектер жазды, олар оны "секанттар туралы ұйғарым" (шакл әл-қатта) деп атады. Олардың терминологиясында толық төртбұрыш "секант фигурасы" деп аталды, немесе Тәбит ибн Құраның "Секант фигурасы туралы трактат" (Рисала фи шакл әл-қатта') сияқты жеке трактаттар түрінде жазылған еңбектер. Хусам әл-Дин әл-Салардың "Секант фигурасының құпияларын ашу" (Кашф әл-қина' ан асрар әл-шакл әл-қатта'), сондай-ақ "Секант фигурасы туралы кітап" (Китаб әл-шакл әл-қатта) немесе Еуропада "Толық төртбұрыш туралы трактат" деп белгілі. Шараф әл-Дин әл-Түси мен Насир әл-Дин әл-Түси жоғалған трактат туралы айтқан. Аль Сиджзидің еңбектері. Әбу Наср ибн Ирактың "Тахдиб" еңбегі. Рошди Рашид және Афанасий Пападопулос, Менелайдың "Сфералары": ерте аударма және әл-Махани / әл-Харави нұсқасы (тарихи және математикалық түсіндірмелермен араб қолжазбаларынан Менелайдың "Сфераларының" сындық басылымы), Де Груйтер, Серия: Scientia Graeco Arabica, 21, 2017, 890 бет.
The "Treatise on the Figure of Secants" (Risala fi shakl al qatta''') by Thabit ibn Qurra. Husam al Din al Salar's Removing the Veil from the Mysteries of the Figure of Secants (Kashf al qina' 'an asrar al shakl al qatta'), also known as "The Book on the Figure of Secants" (Kitab al shakl al qatta) or in Europe as The Treatise on the Complete Quadrilateral. The lost treatise was referred to by Sharaf al Din al Tusi and Nasir al Din al Tusi. Work by al Sijzi. Tahdhib'' by Abu Nasr ibn Iraq. Roshdi Rashed and Athanase Papadopoulos, Menelaus' Spherics: Early Translation and al Mahani'/al Harawi's version (Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries), De Gruyter, Series: Scientia Graeco Arabica, 21, 2017, 890 pages.