Кіріспе
Математикада, егер функция кез келген нүкте маңында шектелген болса, онда ол жергілікті шектелген болады. Функциялардың жиыны жергілікті шектелген болады, егер олардың анықталу облысындағы кез келген нүкте үшін барлық функциялар сол нүкте маңында және бірдей санмен шектелген болса.
Мысалдар
Бұл функция шектеулі, өйткені барлық үшін , сондықтан ол жергілікті шектеулі де. функциясы шектеулі емес, себебі ол кез келгеннен де үлкен бола береді. Дегенмен, ол жергілікті шектеулі, өйткені әрбір үшін, маңайындағы әрбір функция үшін . функциясы шектеулі де, жергілікті шектеулі де емес. 0-дың кез келген маңында бұл функция кез келгеннен де үлкен шамадағы мәндерді қабылдайды. Кез келген үздіксіз функция жергілікті шектеулі болады. Нақты айнымалы функциялары үшін мынадай дәлел келтірейік. функциясы үздіксіз болсын, мұндағы және , және біз функцияның кез келген үшін жергілікті шектеулі екенін көрсетейік. Үздіксіздік анықтамасында ε = 1 деп алсақ, мұндай бірдей табылады, осылайша барлық үшін . Енді үшбұрыш теңсіздігі бойынша, , яғни функция жергілікті шектеулі ( және маңайын алып). Бұл аргумент функцияның домені кез келген топологиялық кеңістік болғанда оңай жалпыланады. Алайда, жоғарыдағы нәтиженің керісі дұрыс емес; яғни, үздіксіз емес функция жергілікті шектеулі болуы мүмкін. Мысалы, функцияны қарастырайық, мұндағы және барлық үшін. Содан кейін функция 0-де үздіксіз емес, бірақ жергілікті шектеулі; ол нөлден басқа жерде жергілікті тұрақты, мысалы, және маңайын алуға болады.
The function defined by is neither bounded nor locally bounded. In any neighborhood of 0 this function takes values of arbitrarily large magnitude. Any continuous function is locally bounded. Here is a proof for functions of a real variable. Let be continuous where and we will show that is locally bounded at for all Taking ε = 1 in the definition of continuity, there exists such that for all with Now by the triangle inequality, which means that is locally bounded at (taking and the neighborhood ). This argument generalizes easily to when the domain of is any topological space. The converse of the above result is not true however; that is, a discontinuous function may be locally bounded. For example consider the function given by and for all Then is discontinuous at 0 but is locally bounded; it is locally constant apart from at zero, where we can take and the neighborhood for example.
Мысалдар
Функциялардың туысы , мұнда жергілікті шектеледі. Шындығында, егер нақты сан болса, онда -ты аралық ретінде таңдауға болады. Содан кейін, осы аралықтағы барлық және барлық үшін , мұндағы . Бұл отбасы сондай-ақ біркелкі шектеледі, себебі көршілік те, тұрақты да индекске байланысты емес. Функциялардың туысы , егер нөлден үлкен болса, жергілікті шектеледі. Кез келген үшін, -ты өзінің көршілігі ретінде таңдауға болады. Онда бізде , мұндағы . -ның мәні x₀ немесе оның көршілігінің таңдалуына байланысты емес. Осылайша, бұл отбасы тек жергілікті ғана емес, сонымен қатар біркелкі шектеледі. Функциялардың туысы жергілікті шектелілмейді. Шындығында, кез келген үшін, мәндерін шектеу мүмкін емес, себебі t шексіздікке ұмтылғанда.
The family of functions is locally bounded, if is greater than zero. For any one can choose the neighborhood to be itself. Then we have with Note that the value of does not depend on the choice of x0 or its neighborhood This family is then not only locally bounded, it is also uniformly bounded. The family of functions is not locally bounded. Indeed, for any the values cannot be bounded as tends toward infinity.
Топологиялық векторлық кеңістіктер
Жергілікті шектелу топологиялық векторлық кеңістіктердің, немесе топологиялық кеңістіктен топологиялық векторлық кеңістікке (ТВШ) функцияларының қасиеттерін де білдіруі мүмкін.