Локальная ограниченность функций и семейств функций
Local boundedness
Локальная ограниченность функций в математике: определение, примеры ограниченных и неограниченных функций. Разбор понятий и условий локальной ограниченности.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике функция локально ограничена, если она ограничена в окрестности каждой точки. Семейство функций локально ограничено, если для любой точки из области определения все функции семейства ограничены в окрестности этой точки одним и тем же числом.
In mathematics, a function is locally bounded if it is bounded around every point. A family of functions is locally bounded if for any point in their domain all the functions are bounded around that point and by the same number.
Примеры
Функция, заданная формулой , ограничена, поскольку для всех . Следовательно, она также локально ограничена. Функция, заданная формулой , не ограничена, так как она может становиться сколь угодно большой. Однако она локально ограничена, потому что для каждого существует окрестность , где .
The function defined by is bounded, because for all Therefore, it is also locally bounded. The function defined by is not bounded, as it becomes arbitrarily large. However, it is locally bounded because for each in the neighborhood where
Функция, заданная формулой , не является ни ограниченной, ни локально ограниченной. В любой окрестности 0 эта функция принимает значения сколь угодно большой величины. Любая непрерывная функция локально ограничена. Приведем доказательство для функций вещественной переменной. Пусть непрерывна, где , и мы покажем, что она локально ограничена в любой точке . Принимая ε = 1 в определении непрерывности, существует такое δ, что для всех , удовлетворяющих . Теперь, по неравенству треугольника, , что означает, что локально ограничена в точке (выбрав δ и окрестность ). Этот аргумент легко обобщается на случай, когда область определения является любым топологическим пространством. Однако обратное утверждение неверно; то есть, разрывная функция может быть локально ограниченной. Например, рассмотрим функцию, заданную как и для всех . Тогда она разрывна в 0, но локально ограничена; она локально постоянна везде, кроме нуля, где можно выбрать и окрестность , например.
The function defined by is neither bounded nor locally bounded. In any neighborhood of 0 this function takes values of arbitrarily large magnitude. Any continuous function is locally bounded. Here is a proof for functions of a real variable. Let be continuous where and we will show that is locally bounded at for all Taking ε = 1 in the definition of continuity, there exists such that for all with Now by the triangle inequality, which means that is locally bounded at (taking and the neighborhood ). This argument generalizes easily to when the domain of is any topological space. The converse of the above result is not true however; that is, a discontinuous function may be locally bounded. For example consider the function given by and for all Then is discontinuous at 0 but is locally bounded; it is locally constant apart from at zero, where we can take and the neighborhood for example.
Примеры
Семья функций ограничена локально. Действительно, если – действительное число, можно выбрать окрестность в виде интервала . Тогда для всех в этой окрестности и для всех выполняется с . Более того, эта семья равномерно ограничена, поскольку ни окрестность, ни константа не зависят от индекса .
The family of functions where is locally bounded. Indeed, if is a real number, one can choose the neighborhood to be the interval Then for all in this interval and for all one has with Moreover, the family is uniformly bounded, because neither the neighborhood nor the constant depend on the index
Семья функций ограничена локально, если больше нуля. Для любого можно выбрать окрестность в виде самой . Тогда мы имеем с . Обратите внимание, что значение не зависит от выбора или его окрестности . Следовательно, эта семья не только локально ограничена, но и равномерно ограничена. Семья функций не ограничена локально. Действительно, для любого значения не могут быть ограничены при стремлении к бесконечности.
The family of functions is locally bounded, if is greater than zero. For any one can choose the neighborhood to be itself. Then we have with Note that the value of does not depend on the choice of x0 or its neighborhood This family is then not only locally bounded, it is also uniformly bounded. The family of functions is not locally bounded. Indeed, for any the values cannot be bounded as tends toward infinity.
Топологические векторные пространства
Локальная ограниченность может также относиться к свойству топологических векторных пространств или функций из топологического пространства в топологическое векторное пространство (TVS).
Local boundedness may also refer to a property of topological vector spaces, or of functions from a topological space into a topological vector space (TVS).