Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Симплектикалық геометриядағы негізгі нәтиже. Дифференциалдық геометриядағы Дарбукс теоремасы.
Foundational result in symplectic geometry
Darboux's theorem in differential geometry
Дифференциалдық геометрия, математиканың бір саласы ретінде, Дарбукс теоремасы – дифференциалдық 1-формалардың ерекше топтары үшін канондық түр беретін теорема, ол Фробеніус интеграция теоремасын ішінара кеңейтеді. Ол Пфафф мәселесін шешкен Жан Гастон Дарбукс есімімен аталады. Бұл теорема бірнеше саланың негізгі нәтижесі болып табылады, олардың ішіндегі ең маңыздысы – симплектикалық геометрия. Шындығында, оның көптеген салдарының бірі – бірдей өлшемдегі кез келген екі симплектикалық манифольд бір-біріне локальды түрде симплектоморфты болады. Яғни, кез келген өлшемді симплектикалық манифольдтің локальды түрде канондық симплектикалық формасы бар сызықтық симплектикалық кеңістікке ұқсас болуы мүмкін. Теорема контакттік геометрияға қолданғанда да ұқсас салдарға ие.
In differential geometry, a field in mathematics, Darboux's theorem is a theorem providing a normal form for special classes of differential 1 forms, partially generalizing the Frobenius integration theorem. It is named after Jean Gaston Darboux who established it as the solution of the Pfaff problem. It is a foundational result in several fields, the chief among them being symplectic geometry. Indeed, one of its many consequences is that any two symplectic manifolds of the same dimension are locally symplectomorphic to one another. That is, every dimensional symplectic manifold can be made to look locally like the linear symplectic space with its canonical symplectic form. There is also an analogous consequence of the theorem applied to contact geometry.
Фробен теоремасы
Дарбукс теоремасы кез келген 1-форманың, яғни жағдайында, белгілі бір координаттар жүйесінде түрінде жазыла алатынын қамтамасыз етеді. Бұл дифференциалдық формалар арқылы Фробень теоремасының бір формулировкасын қайта қалпына келтіреді: егер дифференциалдық идеал болса, онда жағдайы координаттар жүйесінің бар екендігін білдіреді, онда нақты құрылған. Көпқырлылық мұндай координаттар жүйелерімен жабылуы мүмкін. Басқаша айтқанда, шамасын мен теңестіріңіз: Егер Дарбукс координаттар жүйесі болса, онда оны стандартты симплектикалық форманың кері тартылуы ретінде жазуға болады: Бұл нәтиженің қазіргі заманғы дәлелі, Дарбукс теоремасының 1-формаларға қатысты жалпы тұжырымын қолданбай, Мозердің әдісін пайдаланады.
Darboux's theorem for ensures that any 1 form such that can be written as in some coordinate system
This recovers one of the formulation of Frobenius theorem in terms of differential forms: if is the differential ideal generated by , then implies the existence of a coordinate system where is actually generated by The manifold can be covered by such charts. To state this differently, identify with by letting If is a Darboux chart, then can be written as the pullback of the standard symplectic form on :
A modern proof of this result, without employing Darboux's general statement on 1 forms, is done using Moser's trick.
Риман геометриясымен салыстыру
Дарбукс теоремасы симплектикалық көптүрліліктер үшін симплектикалық геометрияда жергілікті инварианттардың болмауын білдіреді: кез келген нүктеге жақын жарамды Дарбукс негізін алуға болады. Бұл Риман геометриясымен күрт контрастқа түседі, онда қисықтық – жергілікті инвариант, метриканың координаттық дифференциалдардың квадраттарының қосындысы түрінде жергілікті түрде жазылуына кедергі келтіретін фактор. Айырмашылық сол, Дарбукс теоремасы бойынша, оны белгілі бір нүкте төңірегіндегі бүкіл аймақта стандартты түрге келтіруге болады. Риман геометриясында метриканы әрқашан кез келген нүктеде стандартты түрге келтіруге болады, бірақ әрқашан сол нүктеге жақын аймақта емес.
Darboux's theorem for symplectic manifolds implies that there are no local invariants in symplectic geometry: a Darboux basis can always be taken, valid near any given point. This is in marked contrast to the situation in Riemannian geometry where the curvature is a local invariant, an obstruction to the metric being locally a sum of squares of coordinate differentials. The difference is that Darboux's theorem states that can be made to take the standard form in an entire neighborhood around In Riemannian geometry, the metric can always be made to take the standard form at any given point, but not always in a neighborhood around that point.
Контактты коллекторлар үшін Дарбукс теоремасы
Тағы бір ерекше жағдай мынада қалпына келтіріледі: егер барлық жерде , онда – контактілік форма. Мозердің тәсілін пайдалану арқылы, симплектикалық құрылымдардағыдай, оны оңайрақ дәлелдеуге болады.
Another particular case is recovered when ; if everywhere, then is a contact form. A simpler proof can be given, as in the case of symplectic structures, by using Moser's trick.