Введение

Основополагающий результат в симплектической геометрии. Теорема Дарбукса в дифференциальной геометрии.

В дифференциальной геометрии, области математики, теорема Дарбукса представляет собой теорему, предоставляющую нормальную форму для специальных классов дифференциальных 1-форм, частично обобщающую теорему Фробениуса об интегрировании. Она названа в честь Жана Гастона Дарбукса, который установил её как решение проблемы Пфаффа. Это фундаментальный результат в различных областях, среди которых симплектическая геометрия является главной. Действительно, одним из многочисленных следствий теоремы является то, что любые два симплектических многообразия одинаковой размерности локально симплектоморфны друг другу. Иными словами, любое симплектическое многообразие заданной размерности можно локально привести к виду линейного симплектического пространства с его канонической симплектической формой. Существует также аналогичное следствие теоремы, применимое к контактной геометрии.

Теорема Фробениуса

Теорема Дарбукса для гарантирует, что любая 1-форма ω такая, что dω = 0, может быть записана как ω = Σ pi dq i в некоторой системе координат. Это восстанавливает одну из формулировок теоремы Фробениуса в терминах дифференциальных форм: если дифференциальный идеал генерируется ω, то dω = 0 подразумевает существование системы координат (x1, ..., xn), где этот идеал фактически генерируется dxi. Многообразие может быть покрыто такими диаграммами координат. Другими словами, отождествим T*M с R2n, полагая z = (q, p). Если (U, φ) – диаграмма Дарбукса, то ω можно записать как откат стандартной симплектической формы dp ∧ dq на R2n.

Современное доказательство этого результата, не использующее общее утверждение Дарбукса относительно 1-форм, выполняется с помощью трюка Мозера.

Сравнение с римановской геометрией

Теорема Дарбукса о симплектических многообразиях подразумевает отсутствие локальных инвариантов в симплектической геометрии: всегда можно выбрать основание Дарбукса, действующее в окрестности любой заданной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии, где кривизна является локальным инвариантом и препятствием для того, чтобы метрика локально представляла собой сумму квадратов координатных дифференциалов. Разница заключается в том, что теорема Дарбукса утверждает, что метрику можно привести к стандартному виду во всей окрестности точки. В римановой геометрии метрику всегда можно привести к стандартному виду в любой заданной точке, но не всегда в окрестности этой точки.

Теорема Дарбукса для контактных коллекторов

Еще один частный случай возникает, когда ; если выполняется везде, то является контактной формой. Более простое доказательство можно получить, как и в случае симплектических структур, используя прием Мозера.