Кіріспе
Бүтін коэффициенттері бар мономиал теңдеуді шешетін комплекс сан, комплекс сандардың интегралдық сақинасы арқылы.
the ring of complex numbers integral over
In algebraic number theory, an algebraic integer is a complex number that is integral over the integers. That is, an algebraic integer is a complex root of some monic polynomial (a polynomial whose leading coefficient is 1) whose coefficients are integers. The set of all algebraic integers A is closed under addition, subtraction and multiplication and therefore is a commutative subring of the complex numbers. The ring of integers of a number field K, denoted by , is the intersection of K and A: it can also be characterised as the maximal order of the field K. Each algebraic integer belongs to the ring of integers of some number field. A number α is an algebraic integer if and only if the ring is finitely generated as an abelian group, which is to say, as a module.
Алгебралық сандар теориясында алгебралық бүтін сан – бүтін сандар арқылы интегралдық болатын комплекс сан. Яғни, алгебралық бүтін сан – жетекші коэффициенті 1 болатын, коэффициенттері бүтін сандардан тұратын кейбір мономиал теңдеудің комплекс түбірі. Барлық алгебралық бүтін сандар жиыны А қосу, алу және көбейту амалдарына қатысты жабық, сондықтан ол комплекс сандардың коммутативтік кіші сақинасы болып табылады. K сан денесінің бүтін сандар сақинасы , K пен A жиындарының қиылысы болып табылады: оны K денесінің максималды реті ретінде де сипаттауға болады. Кез келген алгебралық бүтін сан қандай да бір сан денесінің бүтін сандар сақинасына жатады. α саны алгебралық бүтін сан болады, егер және тек қана егер сақина абельдік топ ретінде, яғни модуль ретінде шекті түрде туынды болса.
the ring of complex numbers integral over
In algebraic number theory, an algebraic integer is a complex number that is integral over the integers. That is, an algebraic integer is a complex root of some monic polynomial (a polynomial whose leading coefficient is 1) whose coefficients are integers. The set of all algebraic integers A is closed under addition, subtraction and multiplication and therefore is a commutative subring of the complex numbers. The ring of integers of a number field K, denoted by , is the intersection of K and A: it can also be characterised as the maximal order of the field K. Each algebraic integer belongs to the ring of integers of some number field. A number α is an algebraic integer if and only if the ring is finitely generated as an abelian group, which is to say, as a module.
Анықтамалар
Келесілер алгебралық бүтін санның эквивалентті анықтамалары. K – сан өрісі (яғни, рационал сандар өрісінің шекті кеңейтімі), яғни, бастапқы элемент теоремасы бойынша, кейбір алгебралық сан арқылы анықталады. α ∈ K алгебралық бүтін сан болады, егер 1=f(α) = 0 болатын мономиалдық полином f(x) болса. α ∈ K алгебралық бүтін сан болады, егер α-ның үстінен ең кіші мономиалдық полиномы болса. α ∈ K алгебралық бүтін сан болады, егер шекті түрде жасалған модуль болса. α ∈ K алгебралық бүтін сан болады, егер αM ⊆ M болатын нөлдік емес, шекті түрде жасалған модульдің ішкі модулі M болса.
α ∈ K is an algebraic integer if the minimal monic polynomial of α over is in α ∈ K is an algebraic integer if is a finitely generated module. α ∈ K is an algebraic integer if there exists a non zero finitely generated submodule such that αM ⊆ M.
Алгебралық бүтін сандар – сақина кеңейтімінің интегралдық элементтерінің ерекше жағдайы. Атап айтқанда, алгебралық бүтін сан – шекті кеңейтімінің интегралдық элементі.
Үлгі емес
Егер P(x) – бүтін коэффициенттері бар, бірақ моник емес, және P – толық емес болса, онда P-нің түбірлерінің ешқайсысы алгебралық бүтін сандар емес (бірақ алгебралық сандар болады). Мұнда "примитив" термині P-нің коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең деген мағынада қолданылады; бұл коэффициенттердің жұптарының өзара жай болуын талап етуден кем.
Фактілер
Екі алгебралық бүтін санның қосындысы, айырмасы және көбейтіндісі алгебралық бүтін сан болып табылады. Жалпы алғанда, олардың бөліндісі болмайды. Моник көпмүше әдетте бастапқы алгебралық бүтін сандарға қарағанда жоғары дәрежелі болады және оны нәтижелерді есептеу және көбейткіштерге жіктеу арқылы табуға болады. Мысалы, егер 1=x^(2) − x − 1 = 0, 1=y^(3) − y − 1 = 0 және болса, онда x және y-ді 1=z − xy = 0 теңдеуінен шығарып алып, x және y қанағаттандыратын көпмүшелерді нәтиже арқылы пайдалансақ, 1=z^(6) − 3z^(4) − 4z^(3) + z^(2) + z − 1 = 0 теңдеуіне жетеміз, бұл теңдеу ықшамдалмайды және көбейтіндіге қанағаттандыратын моник теңдеу болып табылады. (xy, z − xy және x^(2) − x − 1 көпмүшелерінің нәтижесінің түбірі екенін көрсету үшін, нәтиженің осы екі кіріс көпмүшесінен туындаған идеалға кіретінін пайдалануға болады.) Түбірлері, қосу және көбейту арқылы бүтін сандардан құрастырылатын кез келген сан алгебралық бүтін сан болады; бірақ барлық алгебралық бүтін сандар осылай құрастырылмайды: қарапайым түсінік бойынша, қысқартылмайтын бесінші дәрежелі теңдеулердің көптеген түбірлері жоқ. Бұл Абель-Руффини теоремасы. Коэффициенттері алгебралық бүтін сандар болатын моник көпмүшенің кез келген түбірі өзі алгебралық бүтін сан болады. Басқаша айтқанда, алгебралық бүтін сандар оның кез келген кеңейтуінде интегралды жабық сақина құрайды. Алгебралық бүтін сандар сақинасы – негізгі идеал теоремасының салдары ретінде Безу домені болып табылады. Егер алгебралық бүтін санға сәйкес моник көпмүше тұрақты мүшесі 1 немесе -1 болса, онда сол алгебралық бүтін санның кері шамасы да алгебралық бүтін сан болады және ол бірлік, алгебралық бүтін сандар сақинасының бірліктер тобының элементі болып табылады. Егер x алгебралық сан болса, онда anx алгебралық бүтін сан болады, мұнда x бүтін сан коэффициенттері бар p(x) көпмүшесін қанағаттандырады және anx^(n) – p(x) көпмүшесінің ең жоғары дәрежелі мүшесі. Егер x алгебралық сан болса, онда оны алгебралық бүтін санның нөлдік емес алгебралық бүтін санға қатынасы ретінде жазуға болады. Шындығында, бөлшектің бөлімі әрқашан оң бүтін сан болуы мүмкін. Бұл қатынас , мұнда x бүтін сан коэффициенттері бар p(x) көпмүшесін қанағаттандырады және anx^(n) – p(x) көпмүшесінің ең жоғары дәрежелі мүшесі болып табылады.