Введение

Комплексное число, являющееся корнем моноческого многочлена с целыми коэффициентами.

Кольцо комплексных чисел, целых над…

В алгебраической теории чисел алгебраическое целое – это комплексное число, являющееся целым над кольцом целых чисел. То есть, алгебраическое целое – это комплексный корень некоторого моноческого многочлена (многочлена, ведущий коэффициент которого равен 1) с целыми коэффициентами. Множество всех алгебраических целых чисел A замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел. Кольцо целых чисел числового поля K, обозначаемое ℜ_K, является пересечением K и A: его также можно охарактеризовать как максимальный порядок в поле K. Каждое алгебраическое целое принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Число α является алгебраическим целым тогда и только тогда, когда кольцо ℜ_α конечно порождено как абелева группа, то есть как модуль.

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения алгебраического целого числа. Пусть K – числовое поле (т.е. конечное расширение ℚ, поля рациональных чисел), другими словами, K = ℚ[α] для некоторого алгебраического числа α, согласно теореме о примитивных элементах. Элемент α ∈ K является алгебраическим целым числом, если существует моничный многочлен f, такой что f(α) = 0.

Элемент α ∈ K является алгебраическим целым числом, если минимальный моничный многочлен элемента α над ℚ принадлежит ℤ[α]. Элемент α ∈ K является алгебраическим целым числом, если ℤ[α] является конечно порожденным модулем. Элемент α ∈ K является алгебраическим целым числом, если существует ненулевой конечно порожденный подмодуль M такой, что αM ⊆ M.

Алгебраические целые числа являются частным случаем интегральных элементов кольцевого расширения. В частности, алгебраическое целое число является интегральным элементом конечного расширения.

Непример

Если P(x) – примитивный полином с целочисленными коэффициентами, но не являющийся мононическим, и P неприводим над ℚ, то ни один из корней P не является алгебраическим целым (но является алгебраическим числом). Здесь под примитивным понимается, что наибольший общий делитель коэффициентов P равен 1; это условие слабее, чем требование взаимной простоты коэффициентов попарно.

Факты

Сумма, разность и произведение двух алгебраических целых чисел являются алгебраическими целыми числами. В общем случае их частное таковым не является. Монический полином, участвующий в этом, как правило, имеет степень выше, чем у исходных алгебраических целых чисел, и может быть найден с помощью вычисления результирующих многочленов и факторизации. Например, если 1=x^(2) − x − 1 = 0, 1=y^(3) − y − 1 = 0 и , то исключение x и y из 1=z − xy = 0 и полиномов, которым удовлетворяют x и y, с использованием результирующего многочлена дает 1=z^(6) − 3z^(4) − 4z^(3) + z^(2) + z − 1 = 0, который является неприводимым и является моническим уравнением, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что xy является корнем результирующего многочлена по x от z − xy и x^(2) − x − 1, можно воспользоваться тем фактом, что результирующий многочлен содержится в идеале, порожденном двумя входными полиномами.) Любое число, которое можно построить из целых чисел с помощью извлечения корней, сложения и умножения, является алгебраическим целым числом; но не все алгебраические целые числа так построены: в некотором смысле, большинство корней неприводимых многочленов пятой степени таковыми не являются. Это теорема Абеля — Руффини. Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются алгебраическими целыми числами, сам является алгебраическим целым числом. Иными словами, алгебраические целые числа образуют кольцо, которое является интегрально замкнутым в любом своем расширении. Кольцо алгебраических целых чисел является областью Безу как следствие теоремы об основных идеалах. Если монический полином, связанный с алгебраическим целым числом, имеет постоянный член 1 или −1, то обратное этому алгебраическому целому числу также является алгебраическим целым числом и является единицей, элементом группы единиц кольца алгебраических целых чисел. Если x — алгебраическое число, то anx является алгебраическим целым числом, где x удовлетворяет многочлену p(x) с целочисленными коэффициентами и где anx^(n) — член высшей степени p(x). Значение 1=y = anx является алгебраическим целым числом, поскольку оно является корнем , где q(y) — монический многочлен с целочисленными коэффициентами. Если x — алгебраическое число, то его можно представить как отношение алгебраического целого числа к ненулевому алгебраическому целому числу. Фактически, знаменатель всегда можно выбрать положительным целым числом. Это отношение равно , где x удовлетворяет многочлену p(x) с целочисленными коэффициентами и где anx^(n) — член высшей степени p(x).