Кіріспе
Функцияны қарапайым функциялардың шексіз қосындысы ретінде өрнектеу. Математикада, қатарға жіктеу – функцияны қарапайым функциялардың шексіз қосындысы немесе қатары ретінде өрнектеу тәсілі. Бұл, элементарлық амалдармен (қосу, алу, көбейту және бөлу) ғана өрнектеу мүмкін емес функцияларды есептеуге арналған әдіс. Нәтижеде алынған қатарды көбінесе шекті сандағы мүшелермен шектеуге болады, соның арқасында функцияның жуықтамасы шығады. Тізбектегі мүшелердің саны неғұрлым аз болса, осы жуықтама соғұрлым қарапайым болады. Көбінесе, алынған қателік (яғни, қалған мүшелердің ішінара қосындысы) Big O белгісін қолданатын теңдеу арқылы сипатталады (асимптотикалық жіктеуді де қараңыз). Ашық аралықтағы қатарға жіктеу, аналитикалық емес функциялар үшін де жуықтама болып табылады.
In mathematics, a series expansion is a technique that expresses a function as an infinite sum, or series, of simpler functions. It is a method for calculating a function that cannot be expressed by just elementary operators (addition, subtraction, multiplication and division). The resulting so called series often can be limited to a finite number of terms, thus yielding an approximation of the function. The fewer terms of the sequence are used, the simpler this approximation will be. Often, the resulting inaccuracy (i. e., the partial sum of the omitted terms) can be described by an equation involving Big O notation (see also asymptotic expansion). The series expansion on an open interval will also be an approximation for non analytic functions.
Сериялардың кеңейту түрлері
Төменде тізімделген сериялық кеңейтулердің бірнеше түрі бар.
Тейлор сериясы
Тейлор сериясы – функцияның бір нүктедегі туындыларына негізделген қуат қатары. Нақтырақ айтқанда, егер функция белгілі бір нүкте маңында шексіз дифференциалданатын болса, онда осы нүкте маңындағы f функциясының Тейлор қатары былай беріледі:
. Маклаурин қатары – f функциясының нөл нүктесі маңындағы Тейлор қатары. Атап айтқанда, Лоран қатары күрделі функцияның жекешелік нүктесі маңындағы мінез-құлқын зерттеу үшін жекешелік нүктесінде орталастырылған сақинадағы қатарлық кеңеюді қарастыру арқылы қолданылуы мүмкін.
Дирихле сериясы
Жалпы Дирихле қатарлары – түріндегі қатарлар. Бұның маңызды ерекше жағдайы – сандар теориясында қолданылатын обыкновенный Дирихле қатары.
Фурье сериясы
Фурье қатары – периодты функцияларды көптеген синус және косинус функцияларының қосындысы түрінде кескіндеу. Нақтырақ айтқанда, T периоды бар функцияның Фурье қатары келесі өрнекпен беріледі, мұнда коэффициенттер формулалар арқылы анықталады.