Введение

Выражение функции как бесконечная сумма более простых функций

В математике разложение в ряд — это метод представления функции в виде бесконечной суммы, или ряда, более простых функций. Это способ вычисления функции, которую нельзя выразить только элементарными операциями (сложением, вычитанием, умножением и делением). Получаемые так называемые ряды часто можно ограничить конечным числом членов, тем самым получая приближение функции. Чем меньше членов ряда используется, тем проще будет это приближение. Часто возникающую погрешность (то есть частичную сумму пропущенных членов) можно описать уравнением, включающим нотацию «Большое О» (см. также асимптотическое разложение). Разложение в ряд на открытом интервале также является приближением для неаналитических функций.

Типы расширений ряда

Существует несколько видов разложений в ряд, перечисленных ниже.

Серия Тейлора

Ряд Тейлора — это степенной ряд, основанный на производных функции в одной точке. Более конкретно, если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки , то ряд Тейлора функции f в окрестности этой точки задается выражением

При этом, ряд Маклорена функции f является ее рядом Тейлора, разложенным в точке 0. В частности, ряд Лорана можно использовать для изучения поведения комплексной функции вблизи сингулярности, рассматривая разложение в ряд на кольцевой области с центром в этой сингулярности.

Серия Дирихле

Общий ряд Дирихле — это ряд вида. Важным частным случаем является обычный ряд Дирихле, используемый в теории чисел.

Серия Фурье

Ряд Фурье — это представление периодических функций в виде суммы множества синусоидальных и косинусоидальных функций. В частности, ряд Фурье функции с периодом T задается выражением, где коэффициенты определяются следующими формулами: