Кіріспе
2/π-ге жақындайтын шексіз көбейтінді математикада Виет формуласы деп аталады – бұл математикалық тұрақтының екі еселенген кері шамасын көрсететін ұялы радикалдардың шексіз көбейтіндісі:
In mathematics, Viète's formula is the following infinite product of nested radicals representing twice the reciprocal of the mathematical constant :
It can also be represented as
The formula is named after François Viète, who published it in 1593. As the first formula of European mathematics to represent an infinite process, it can be given a rigorous meaning as a limit expression and marks the beginning of mathematical analysis. It has linear convergence and can be used for calculations of , but other methods before and since have led to greater accuracy. It has also been used in calculations of the behavior of systems of springs and masses and as a motivating example for the concept of statistical independence. The formula can be derived as a telescoping product of either the areas or perimeters of nested polygons converging to a circle. Alternatively, repeated use of the half angle formula from trigonometry leads to a generalized formula, discovered by Leonhard Euler, that has Viète's formula as a special case. Many similar formulas involving nested roots or infinite products are now known.
Оны былай да жазуға болады
In mathematics, Viète's formula is the following infinite product of nested radicals representing twice the reciprocal of the mathematical constant :
It can also be represented as
The formula is named after François Viète, who published it in 1593. As the first formula of European mathematics to represent an infinite process, it can be given a rigorous meaning as a limit expression and marks the beginning of mathematical analysis. It has linear convergence and can be used for calculations of , but other methods before and since have led to greater accuracy. It has also been used in calculations of the behavior of systems of springs and masses and as a motivating example for the concept of statistical independence. The formula can be derived as a telescoping product of either the areas or perimeters of nested polygons converging to a circle. Alternatively, repeated use of the half angle formula from trigonometry leads to a generalized formula, discovered by Leonhard Euler, that has Viète's formula as a special case. Many similar formulas involving nested roots or infinite products are now known.
Бұл формуланы 1593 жылы жариялаған Франсуа Виеттің есімімен атаған. Еуропалық математикада шексіз процесті бейнелейтін алғашқы формула ретінде, оған шек мәні түрінде нақты анықтама берілуі мүмкін және бұл математикалық талдаудың бастауын білдіреді. Ол сызықтық жақындауға ие және π шамасын есептеу үшін қолданылуы мүмкін, бірақ одан бұрынғы және кейінгі әдістер одан да жоғары дәлдікке жеткізді. Сондай-ақ, ол серіппелер мен массалар жүйелерінің қасиеттерін есептеуде және статистикалық тәуелсіздік тұжырымдамасын түсіндіруде пайдаланылды. Формуланы шеңберге жақындайтын ұялы көпбұрыштардың аудандарының немесе периметрлерінің телескопиялық көбейтіндісі ретінде алуға болады. Тригонометриядағы жарты бұрыш формуласын қайталап қолдану арқылы Леонхард Эйлер ашқан, Виет формуласының ерекше жағдайы болатын жалпыланған формулаға келіп тіреледі. Қазір ұялы түбірлерді немесе шексіз көбейтінділерді қолданатын көптеген ұқсас формулалар белгілі.
In mathematics, Viète's formula is the following infinite product of nested radicals representing twice the reciprocal of the mathematical constant :
It can also be represented as
The formula is named after François Viète, who published it in 1593. As the first formula of European mathematics to represent an infinite process, it can be given a rigorous meaning as a limit expression and marks the beginning of mathematical analysis. It has linear convergence and can be used for calculations of , but other methods before and since have led to greater accuracy. It has also been used in calculations of the behavior of systems of springs and masses and as a motivating example for the concept of statistical independence. The formula can be derived as a telescoping product of either the areas or perimeters of nested polygons converging to a circle. Alternatively, repeated use of the half angle formula from trigonometry leads to a generalized formula, discovered by Leonhard Euler, that has Viète's formula as a special case. Many similar formulas involving nested roots or infinite products are now known.
Маңыздылығы
Франсуа Виет (1540–1603) – француз заңгері, екі француз патшасының жеке кеңесшісі және әуесқой математик. Ол бұл формуланы 1593 жылы «Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII» еңбегінде жариялады. Осы кезде (принцип бойынша) кез келген дәлдікке жуықтау әдістері бұрыннан белгілі болды. Виеттің өзінің әдісін Архимедтің көпжақты көпбұрыштың периметрі арқылы шеңбердің ұзындығын шамалау идеясының бір түрі ретінде қарастыруға болады. Архимед осы әдісті қолданып, жуық мән табуға қол жеткізген.
Формуласын математикалық формула ретінде жариялаған арқылы Виет математикадағы бірінші шексіз көбейтіндінің және нақты мәнін анықтайтын формуланың алғашқы мысалын ұсынды. Еуропалық математикада санды шекті есептеудің емес, шексіз процестің нәтижесі ретінде бейнелеудің алғашқы үлгісі ретінде Эли Маор Виеттің формуласын математикалық талдаудың басталуы деп атап көрсетеді, ал Джонатан Борвейн оның пайда болуын «заманауи математиканың шұғыласы» деп сипаттайды. Виет өз формуласын қолданып, пі-нің (π) мәнін ондықтан кейін тоғыз таңбаға дейін дәл есептеді. Алайда, бұл сол кездегі ең дәл жуықтау емес еді, өйткені парсы математигі Жамшид әл-Каши 1424 жылы пі-нің (π) мәнін алты жүйелік (сексагезимальдық) және ондықтан кейін 16 таңбаға дейін дәл есептеген. Виет формуласын жариялағаннан кейін көп ұзамай Людольф ван Цеулен Виеттің әдісіне ұқсас әдіс қолданып, пі-нің (π) 35 таңбасын есептеді, олар ван Цеулен 1610 жылы қайтыс болғаннан кейін ғана жарияланды. Математикалық және тарихи маңыздылығынан өзге, Виеттің формуласын әртүрлі жиіліктері бар толқындардың әртүрлі жылдамдықтарын шексіз серіппелер мен массалар тізбегінде түсіндіру үшін де қолдануға болады, сондай-ақ осы жылдамдықтардың шекті мінез-құлқында пі-нің (π) пайда болуын түсіндіруге болады. Бұған қоса, осы формуланың Радемахер жүйесін қамтитын интегралдар арқылы туындысы, сол функциялардың көбейтінділерінің интегралына тең, статистикалық тәуелсіздік концепциясына түрткіс беретін мысал болып табылады.