Введение

Бесконечное произведение, сходящееся к 2/π

В математике формула Виета представляет собой следующее бесконечное произведение вложенных радикалов, выражающее удвоенную величину, обратную математической константе π:

Оно также может быть представлено как

Формула названа в честь Франсуа Виета, опубликовавшего её в 1593 году. Являясь первой формулой европейской математики, представляющей бесконечный процесс, она может быть строго определена как предельное выражение и знаменует начало математического анализа. Она обладает линейной сходимостью и может использоваться для вычислений π, однако другие методы, как до, так и после её открытия, обеспечивают большую точность. Она также применялась при расчётах поведения систем пружин и масс, а также в качестве мотивационного примера для концепции статистической независимости. Формулу можно вывести как телескопическое произведение площадей или периметров вложенных многоугольников, стремящихся к окружности. Альтернативно, многократное применение формулы половинного угла из тригонометрии приводит к обобщённой формуле, открытой Леонардом Эйлером, в которой формула Виета является частным случаем. В настоящее время известно множество подобных формул, включающих вложенные корни или бесконечные произведения.

Значение

Франсуа Виет (1540–1603) — французский юрист, тайный советник двух французских королей и математик-любитель. Он опубликовал эту формулу в 1593 году в своей работе Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII. К этому времени методы для приближения к π (в принципе) с произвольной точностью уже давно были известны. Метод Виета можно интерпретировать как вариацию идеи Архимеда о приближении длины окружности круга периметром многоугольника с большим числом сторон, использовавшейся Архимедом для нахождения приближения π.

Опубликовав свой метод в виде математической формулы, Виет сформулировал первый известный в математике пример бесконечного произведения и первый пример явной формулы для точного значения π. Как первое в европейской математике представление числа как результата бесконечного процесса, а не конечного вычисления, Эли Маор отмечает, что формула Виета знаменует начало математического анализа, а Джонатан Борвейн называет её появление «рассветом современной математики». Используя свою формулу, Виет вычислил π с точностью до девяти десятичных знаков. Однако это было не самое точное приближение π, известное в то время, поскольку персидский математик Джамшид аль-Каши вычислил π с точностью до девяти шестидесятеричных знаков и 16 десятичных знаков в 1424 году. Вскоре после публикации формулы Виета Людольф ван Цейлен использовал метод, тесно связанный с методом Виета, для вычисления 35 знаков числа π, которые были опубликованы лишь после смерти ван Цейлена в 1610 году. Помимо своего математического и исторического значения, формула Виета может быть использована для объяснения различных скоростей волн разных частот в бесконечной цепи пружин и масс, а также появления π в предельном поведении этих скоростей. Кроме того, вывод этой формулы в виде произведения интегралов, включающих систему Радемахера, равный интегралу произведений тех же функций, служит наглядным примером для концепции статистической независимости.