Пифагор және ұстаның төрт балғасы: музыка мен сандардың аңызы

Кіріспе

Аңыз бойынша, Пифагор төрт ұстаның балғасының дыбысын тыңдап, музыкалық аспаптарды келтірудің негіздерін ашты. Бұл балғалар бірдей соққанда үйлесім мен диссонанс тудырды. Никомахтың біздің заманымыздан бұрынғы 2 ғасырдағы «Гармония туралы нұсқаулықта» Пифагор А балғасының В балғасымен бірге соққанда, С балғасының А балғасымен бірге соққанда, ал В және С балғаларының бір-бірімен диссонанс тудырғанын байқады. Д балғасы А балғасымен соншалық үйлесімді болды, олар бірдей нотаны «ән салатын» сияқты көрінді. Пифагор себебін білу үшін ұстаханаға жүгіріп барып, себебінің балғалардың салмағында екенін анықтады. Балғалардың салмағы 12, 9, 8 және 6 фунтты құрады. А және Д балғаларының арақатысы 2:1, яғни октава арақатысы. В және С балғаларының салмағы 8 және 9 фунтты құрады. Олардың Д балғасымен арақатысы (12:8 = 3:2 = таза квинта) және (12:9 = 4:3 = таза кварта) болды. В және С арасындағы аралық 9:8 арақатысы, бұл музыкалық толық тонға немесе бүтін интервалға тең.

According to legend, Pythagoras discovered the foundations of musical tuning by listening to the sounds of four blacksmith's hammers, which produced consonance and dissonance when they were struck simultaneously. According to Nicomachus in his 2nd century CE Enchiridion harmonices, Pythagoras noticed that hammer A produced consonance with hammer B when they were struck together, and hammer C produced consonance with hammer A, but hammers B and C produced dissonance with each other. Hammer D produced such perfect consonance with hammer A that they seemed to be "singing" the same note. Pythagoras rushed into the blacksmith shop to discover why, and found that the explanation was in the weight ratios. The hammers weighed 12, 9, 8, and 6 pounds respectively. Hammers A and D were in a ratio of 2:1, which is the ratio of the octave. Hammers B and C weighed 8 and 9 pounds. Their ratios with hammer D were (12:8 = 3:2 = perfect fifth) and (12:9 = 4:3 = perfect fourth). The space between B and C is a ratio of 9:8, which is equal to the musical whole tone, or whole step interval
Hammer Weight Interval Chisel In C A 6 C B 8 G C 9 F D 12 C'

The legend is, at least with respect to the hammers, demonstrably false. It is probably a Middle Eastern folk tale. These proportions are indeed relevant to string length (e. g. that of a monochord) — using these founding intervals, it is possible to construct the chromatic scale and the basic seven tone diatonic scale used in modern music, and Pythagoras might well have been influential in the discovery of these proportions (hence, sometimes referred to as Pythagorean tuning) — but the proportions do not have the same relationship to hammer weight and the tones produced by them. However, hammer driven chisels with equal cross section, show an exact proportion between length or weight and Eigenfrequency. Earlier sources mention Pythagoras' interest in harmony and ratio. Xenocrates (4th century BCE), while not as far as we know mentioning the blacksmith story, described Pythagoras' interest in general terms: "Pythagoras discovered also that the intervals in music do not come into being apart from number; for they are an interrelation of quantity with quantity. So he set out to investigate under what conditions concordant intervals come about, and discordant ones, and everything well attuned and ill tuned." Whatever the details of the discovery of the relationship between music and ratio, it is regarded as historically the first empirically secure mathematical description of a physical fact. As such, it is symbolic of, and perhaps leads to, the Pythagorean conception of mathematics as nature's modus operandi. As Aristotle was later to write, "the Pythagoreans construct the whole universe out of numbers". The Micrologus of Guido of Arezzo repeats the legend in Chapter XX.

Балға салмағы Интервал Кескіш C A 6 C B 8 G C 9 F D 12 C'

Аңыз, кем дегенде балғаларға қатысты, нақты емес болып шықты. Бұл, әдетте, Таяу Шығыстың халық ертегісі. Алайда, бұл пропорциялардың иірімнің ұзындығына (мысалы, монохордқа) қатысы бар. Осы негізгі интервалдарды қолданып, қазіргі заманғы музыкада қолданылатын хроматикалық гамма мен негізгі жеті дыбыстық диатоникалық гамманы құруға болады, және Пифагор осы пропорцияларды ашуға ықпал еткен болуы мүмкін (сондықтан кейде «пифагорлық аспапты келтіру» деп атайды), бірақ пропорциялар балғаның салмағымен және олардың тудырған дыбыстарымен бірдей қатынаста емес. Дегенмен, тең қимасы бар балғамен жұмыс істейтін кескіштер ұзындығы немесе салмағы мен өзіндік жиілігі арасындағы нақты пропорцияны көрсетеді. Ерте дереккөздерде Пифагордың үйлесім мен арақатынасқа қызығушылығы айтылған. Ксенократ (б.з.д. 4 ғасыр), бізге белгілі болғанша, ұстаның әңгімесін айтпағанмен, Пифагордың қызығушылығын былай сипаттады: «Пифагор музыкадағы интервалдар сансыз пайда болмайтынын анықтады; өйткені олар – санның санмен өзара байланысы. Сондықтан ол үйлесімді және диссонансты интервалдардың, сондай-ақ жақсы және жаман аспапты келтірудің қандай шарттарда пайда болатынын зерттеуді бастады». Музыка мен арақатынас арасындағы байланысты табудың егжей-тегжейіне қарамастан, бұл физикалық фактінің алғашқы эмпирикалық тұрғысынан нақты математикалық сипаттамасы болып саналады. Осылайша, ол математиканың табиғаттың жұмыс істеу тәсілі ретінде Пифагор тұжырымдамасының символы және мүмкін оған әкеледі. Аристотель кейінірек жазғандай, «пифагорлықтар бүкіл ғаламды сандардан құрастырады». Гвидо Ареццоның «Микролог» еңбегінде XX тарауда аңыз қайталанады.

Аңыздың мазмұны

Аңыздың ең көне жазылған нұсқасына сәйкес, б.з.д. VI ғасырда өмір сүрген Пифагор геометриялық шамаларды компаспен немесе салмақты таразымен өлшеу сияқты, акустикалық сезімдерді өлшеуге арналған құрал іздеген. Ол төрт (кейінгі нұсқада бес) шебердің балғамен жұмыс істеп жатқан балғаханасының жанынан өтіп бара жатып, әрбір соққының әртүрлі дыбыс биіктігін шығаратынын байқады, ал олар жұптасқанда үйлесімділік тудыратын. Ол октаваны, квинтаны және квартаны ажырата алды. Тек квинта мен кварта арасындағы (мажорлық секунда) бір жұпты диссонанс деп қабылдады. Қуанышпен, ол тәжірибелер жүргізу үшін балғаханаға жүгірді. Ол онда дыбыс биіктігінің балғаның пішініне, соққының орнына немесе соққының күшіне байланысты емес екенін анықтады. Керісінше, ол дыбыс биіктігін балғалардың салмағымен байланыстыра алды, оларды дәл өлшеді. Содан кейін ол үйіне оралып, тәжірибелерін жалғастырды. Ол қабырға бұрышына диагональды бекітілген тіреуішке төрт бірдей ұзын, бірдей мықты және бірдей бұралған жіптерді тізіп, олардың төменгі жағына әртүрлі салмақтар іліп, әртүрлі салмақтады. Содан кейін ол жіптерді жұптап тартып, балғаханадағыдай үйлесімді дыбыстар естіді. Он екі бірлік салмағы бар ең ауыр жіп, алты бірлік салмағы бар ең жеңіл жіппен жұптасқанда октава тудырды. Осылайша, октаваның 12:6, яғни 2:1 қатынасына негізделгені анық болды. Ең тар жіп екінші ең бос жіппен (8 бірлік) квинтаны, ал екінші ең тар жіппен (9 бірлік) квартаны тудырды. Осыдан квинтаның 12:8, яғни 3:2 қатынасына, ал квартаның 12:9, яғни 4:3 қатынасына негізделгені анықталды. Сонымен қатар, екінші ең тар жіптің ең бос жіпке қатынасы 9:6, яғни 3:2 квинтаны, ал екінші ең бос жіптің ең бос жіпке қатынасы 8:6, яғни 4:3 квартаны тудырды. Диссонанс интервалы, яғни квинта мен кварта арасындағы қатынас 9:8 екені анықталды, бұл балғаханадағы салмақ өлшеулерімен сәйкес келді. Октава квинта мен квартаның көбейтіндісі болып шықты:

According to the oldest recorded version of the legend, Pythagoras, who lived in the 6th century BC, sought a tool to measure acoustic perceptions, similar to how geometric quantities are measured with a compass or weights with a scale. As he passed by a forge where four (according to a later version, five) craftsmen were working with hammers, he noticed that each strike produced tones of different pitch, which resulted in harmonies when paired. He was able to distinguish Octave, fifth, and fourth. Only one pair, which formed the interval between fourth and fifth (a major second), he perceived as dissonant. Excitedly, he ran into the forge to conduct experiments. There, he discovered that the difference in pitch was not dependent on the shape of the hammer, the position of the struck iron, or the force of the blow. Rather, he could associate the pitches with the weights of the hammers, which he measured precisely. He then returned home to continue the experiments. He hung four equally long, equally strong, and equally twisted strings in succession on a peg attached diagonally to the corner of the walls, weighting them differently by attaching different weights at the bottom. Then he struck the strings in pairs, and the same harmonies resonated as in the forge. The string with the heaviest load of twelve units, when paired with the least burdened string carrying six units, produced an octave. Thus, it was evident that the octave was based on the ratio 12:6, or 2:1. The most tense string yielded a fifth with the second loosest string (eight units), and a fourth with the second tightest string (nine units). From this, it followed that the fifth was based on the ratio 12:8, or 3:2, and the fourth on the ratio 12:9, or 4:3. Again, the ratio of the second tightest string to the loosest, with 9:6, or 3:2, yielded a fifth, and the ratio of the second loosest to the loosest, with 8:6, or 4:3, yielded a fourth. For the dissonant interval between fifth and fourth, it was revealed that it was based on the ratio 9:8, which coincided with the weight measurements carried out in the forge. The octave proved to be the product of the fifth and fourth:

Пифагор тәжірибесін әртүрлі аспаптарға – ыдыстарға, флейталарға, үшбұрыштарға, монохордқа және т.б. кеңейтіп, әрқашан бірдей сандық қатынастарды тапты. Соңында, ол салыстырмалы дыбыс биіктігі үшін қолданылатын терминологияны енгізді.

Басқа дәстүрлер

Пифагор әр түрлі бүтін сан ұзындығы қатынасы бар жіптердің жұптарының үйлесімділігін зерттеу және көрсету үшін монохордты ойлап тапқаннан кейін, ол өзінен табылған музыка теориясының математикалық негізін түсіндірудің ыңғайлы құралын енгізді. Монокорд, грек тілінде κανών (kanōn) және латын тілінде regula деп аталады, ол үстіне созылған жіппен үндеу қорап. Қорапқа өлшеу шкаласы бекітіледі. Құрылғы жылжымалы көпірмен жабдықталған, бұл сымның тербелісі ұзындығын бөлуге мүмкіндік береді; бөліністі өлшеу шкаласын қолдану арқылы дәл анықтауға болады. Бұл интервалдарды өлшеуге мүмкіндік береді. "Монокорд" деген атауға қарамастан, "бір жіпті" дегенді білдіреді, сонымен қатар бір мезгілде аралықтарды шығаратын бірнеше жіпті монокордтар болды. Алайда монокордтың қашан пайда болғаны белгісіз. Уолтер Беркерт бұл жетістікті Аристотельдің заманынан кейінгі уақытқа белгілейді, ол бұл құрылғыны білмейтін көрінеді; сондықтан ол Пифагордың өлімінен кейін көп уақыттан кейін енгізілді. Екінші жағынан, Леонид Жмуд Пифагордың, монокордты қолдана отырып, сандық қатынастарды ашуға әкелген өз тәжірибесін жүргізгенін айтады. Пифагордың ертедегі (біздің заманымызға дейінгі VI ғасырдың соңы мен V ғасырдың басында) метапонттық Гиппас музыкалық интервалдарды сандық зерттеу жүргізді. Гиппасқа тән эксперимент әр түрлі қалыңдықтағы дөңгелек пластиналарды еркін тербеле отырып, Пифагордың эксперименттеріне қарағанда физикалық тұрғыдан дұрыс. Біздің заманымызға дейінгі V-IV ғасырлардағы маңызды Пифагоршы Архитас Тарантумдық осыған қатысты тәжірибелер жүргізген-жүрмегені белгісіз. Ол музыкалық тәжірибеден гөрі теоретик болған, бірақ ол өзінің алдыңғыларының акустикалық байқауларына сілтеме жасаған. Акустикалық теориясын қолдауға арналған музыкалық мысалдарда жел аспаптары бар; ол кыл аспаптармен немесе жеке кылдармен тәжірибелер жүргізу туралы айтпайды. Архитас дыбыс таралу жылдамдығына және дыбыс шығаратын денеге әсер ету күшіне байланысты деген қате гипотезадан бастады; шын мәнінде, дыбыс жылдамдығы берілген ортада тұрақты, ал күш тек көлемге әсер етеді.

With the invention of the monochord to investigate and demonstrate the harmonies of pairs of strings with different integer length ratios, Pythagoras is said to have introduced a convenient means of illustrating the mathematical foundation of music theory that he discovered. The monochord, called κανών (kanōn) in Greek and regula in Latin, is a resonating box with a string stretched over it. A measurement scale is attached to the box. The device is equipped with a movable bridge, which allows the vibrating length of the string to be divided; the division can be precisely determined using the measurement scale. This enables measurement of intervals. Despite the name "monochord," which means "one stringed," there were also multi stringed monochords that could produce simultaneous intervals. However, it is unclear when the monochord was invented. Walter Burkert dates this achievement to a time after the era of Aristotle, who apparently did not know the device; thus, it was introduced long after Pythagoras' death. On the other hand, Leonid Zhmud suggests that Pythagoras probably conducted his experiment, which led to the discovery of numerical ratios, using the monochord. Hippasus of Metapontum, an early Pythagorean (late 6th and early 5th centuries BCE), conducted quantitative investigations into musical intervals. The experiment attributed to Hippasus, involving freely oscillating circular plates of varying thicknesses, is physically correct, unlike the alleged experiments of Pythagoras. It is unclear whether Archytas of Tarentum, an important Pythagorean of the 5th/4th centuries BCE, conducted relevant experiments. He was probably more of a theoretician than a practitioner in music, but he referred to the acoustic observations of his predecessors. The musical examples he cites in support of his acoustic theory involve wind instruments; he does not mention experiments with stringed instruments or individual strings. Archytas proceeded from the mistaken hypothesis that pitch depends on the speed of sound propagation and the force of impact on the sound producing body; in reality, the speed of sound is constant in a given medium, and the force only affects the volume.

Аңыздың түсіндірілуі

Уолтер Буркерттің пікірінше, физикалық мүмкін еместігіне қарамастан, аңыз кездейсоқ ойлап тапқан нәрсе ретінде қарастырылмауы керек, керісінше грек мифологиясында табылатын мағынаға ие. Идеялық Дактильдер, мифтік ұсталар, сонымен қатар миф бойынша музыканың да негізін қалаушылар болған. Осылайша, ұсталықты музыкамен байланыстыратын өте көне дәстүр қалыптасқан, онда мифтік ұсталар сиқырлы музыканың құпиясын білушілер ретінде бейнеленген. Буркерт Пифагор туралы аңызды ежелгі Дактил мифінің кейінірек өзгертілген және рационалдау түрі ретінде қарастырады: Пифагор аңызында ұсталар енді ежелгі сиқырлы білімнің иелері ретінде емес, керісінше, білмей тұрып, Пифагордың "ұстаздарына" айналады. Ерте орта ғасырларда Севильялық Исидор Киелі кітаптағы ұста Тюбалды музыканың ойлап табушысы деп атады, кейінгі авторлар да оған сүйенді. Бұл дәстүр тағы да Еуропадан тыс мифтер мен аңыздарда кездесетін ұсталық пен музыка арасындағы байланыс идеясын көрсетеді. Тюбал барлық музыканттардың атасы саналатын Юбалдың жартылай бауыры болды. Екеуі де Лемектің ұлдары, демек Қабылдың немерелері еді. Орта ғасырлардағы кейбір христиандық дәстүрлерде ағасы Тюбалдың жұмысын бақылаған Юбал Пифагормен теңестірілді. Леонид Жмудтан кейін тағы бір түсіндірмені Жорген Растед ұсынды. Растедтің гипотезасы бойынша, аңыздың пайда болуының бастапқы нүктесі Гиппас жүргізген тәжірибелер туралы хабарлама болды. Гиппас "sphaírai" деп аталатын ыдыстарды қолданды. Жазу қатесі салдарынан бұл сөз "sphýrai" (шекеш) деген сөзбен шатастырылып, Гиппас есімі орнына тәжірибелердің бастамашысы ретінде Пифагордың есімі қолданылды. Осыдан ұсталық туралы аңыз пайда болды.

Тональдық жүйелердің кейінгі дамуындағы маңызы

Октавалардан, бестіктерден, төрттіктерден және олардың еселіктерінен тұратын интервалдарды одан әрі зерттеу, ақырында Пифагорлық қалыптасқан жеті әртүрлі дыбыстан (гептатондық шкала) тұратын диатоникалық шкалалардан он екі дыбысты хроматикалық шкалаға алып келді. Пифагорлық қалыптасқан қасқыр интервалдары мәселе тудырды: таза бестіктер A♭–E♭ және D♭–A♭ орнына, Пифагорлық коммен қалыптасқан G♯–E♭ және C♯–A♭ бестіктері естілді. 15-ші ғасырдың екінші жартысында полифонияның пайда болуымен октава мен бестікке қоса, таза үшіншілік мажор және минор үштіктер үшін маңызды болды. Бұл қалыптасуды он екі ноталық клавиатурада іске асыру мүмкін болмаса да, ол меантондық темперленуде жақсы жүзеге асырылды. Оның кемшілігі – бестік шеңберінің барлық тональдықтары ойнатылмайтын еді. Бұл кемшілікті жою үшін темперленген қалыптасулар енгізілді, бірақ бұл кейбір тональдықтарда таза үшіншіліктер нашаррақ естілуіне әкелді. Қазіргі таңда көптеген аспаптар 12 тональдық тең темперленуде қалыптастырылады, сондықтан октавалар толығымен таза, бестіктерге жуық таза, ал үшіншіліктер дөңгелектеледі.

Музыкадағы төрт Пифагорлық тон

Музыкада төрт гармониялық пифагор тондары пентатоникалық шкалада, әсіресе диатоникалық шкалалардың бірінші, төртінші, бесінші және сегізінші сатыларында (көбінесе мажор және минор шкалаларында) және тоника, субдоминанта және доминантаның негізгі тонды каденцияларды құруда маңызды рөл атқарады. Бұл тондық тізбек жиі каденцияларда сәйкес келетін аккордтармен бірге кездеседі:

Көптеген шығармаларда төрт пифагор тоны пайда болады. Ортағасырлық "Ad te levavi" және "Factus est repente" антифондарының бастапқы тонды бөлімдері, кейбір әшекейлер мен жоғары ноталардан басқа, негізінен төрт пифагор тонынан тұрады. Тағы бір мысал – Иоганн Себастьян Бахтың C минорындағы Пассакалиясының басы. Тема он бес тоннан тұрады, оның ішінде барлығы он тон, әсіресе соңғы төрт тон осы тізбектен алынған.

Қатты денелердің ұзындықтық тербелістері мен табиғи жиілігі

Металл блогын бағалау үшін, максималды ұзындығы бар және дыбыс жылдамдығы белгілі бір материалдан жасалған біртекті тікбұрышты призманы қарастырайық. Оның ең ұзын жағы бойынша (ұзындық осцилляциясы) ең төменгі табиғи жиілігі болады, екі шетінде антинодтар және ортасында түйін орналасқан. Сондықтан, дыбықтың биіктігі призманың массасына және көлденең қимасының ауданына тәуелді емес, тіпті көлденең қима ауданы өзгеруі де мүмкін. Сонымен қатар, денеге соққан кездегі күш пен жылдамдық та маңызды емес. Бұл факт Пифагорға жатқызылатын, шеберлердің қолдарынан (демек, күштерінен) дыбықтың биіктігінің өзгеретіні байқалмағаны туралы мәлімдемемен сәйкес келеді. Қоңыраулар, кеселер немесе тостағандар сияқты күрделі геометриясы бар денелердің, тіпті сұйықтықпен толтырылғандардың да табиғи жиіліктерін сипаттау үшін әлдеқайда күрделі физикалық есептеулер қажет, себебі пішін ғана емес, қабырға қалыңдығы және соққының орны да ескерілуі тиіс. Мұндай жағдайларда көлденең тербелістер де туындап, естілуі мүмкін.

Балғалар

Өте үлкен балға (болаттағы дыбыс жылдамдығы шамамен секундына 5000 метр) балғаның басының ұзындығы 0,2 метр болса, оның табиғи жиілігі 12,5 килогерц құрайды. 0,1 шаршы метр көлденең қимасы бар (0,1 метрге 0,1 метр) және тығыздығы 7,86 грамм куб сантиметрге тең болғанда, оның массасы шамамен 16 килограммға жетеді. Көптеген адамдар шамамен 15 килогерцтен жоғары жиілікті қабылдай алмайды (есту шегін қараңыз); демек, мұндай үлкен балғаның табиғи жиілігін естіп ұғу қиын. Басы қысқа балғалардың табиғи жиілігі тіпті жоғарырақ болады, сондықтан оларды естіп болмайды.

Металл таған

Пифагордың айтуынша, тас қалаушылар қолданатын шаналар немесе тас бөлшектеуге арналған бөлу клиндері сияқты металл таяқтарды салыстыру арқылы, құралдардың тербеліс жиілігі олардың салмағына пропорционалды деген қорытындыға келуге болады. Егер металл таяқтардың, кескіш ұштарын ескермегенде, барлық көлденең қимасы А-ға тең, бірақ ұзындығы l әртүрлі болса, онда олардың салмағы ұзындығына және демек тербеліс жиілігіне пропорционалды болады, егер металл таяқтар бойлық ось бойымен соққылар арқылы бойлық тербеліске келтірілсе (дыбыстық мысалдар оң жақтағы қорапта кездеседі). Иілгіш осцилляторларға, мысалы, камертонға немесе металлофон пластиналарына басқа шарттар мен заңдар қолданылады; сондықтан бұл мәселелер оларға қатысты емес.

Сызық тербелісі

Сымдарды екі басында, әрқайсысы көпірге бекітіп қоюға болады. Ұзындығы бойымен тербелісі бар қатты денеден өзгеше, екі көпір тербелістің екі түйін нүктесі үшін шекаралық шарттарды анықтайды; демек, тербеліс түйіні ортада орналасады. Сымның ұзындығы берілгенде, оның табиғи жиілігі, сонымен қатар, дыбыс биіктігі кернеуге емес, кернеудің квадрат түбіріне пропорционал. Сонымен қатар, жиілік төмендемей, кернеудің артуымен, яғни, сымға түсетін күштің артуымен өседі:

Дегенмен, кернеу тұрақты болғанда тербеліс жиілігі сымның ұзындығына кері пропорционал, және бұл Пифагор ойлап тапқан деген монохордпен тікелей көрсетіледі.

Ежелгі дәуір

Пифагордың музыкалық интервалдардың математикалық негізін ашқаны туралы ең алғашқы мәлімет Ксенократтың (б.з.д. 4 ғасыр) жазбаларында кездеседі; алайда, бұл осы ойшылдың жоғалған еңбегінен алынған цитата болғандықтан, ол балғашы туралы аңызды білген-білмегені белгісіз. Б.з.д. 4 ғасырда Пифагордың интервалдар теориясына сын айтылған, бірақ Пифагор аңызына сілтеме жасалмаған; философ және музыка теоретигі Аристоксен оны жалған деп санады. Аңыздың ең көне жазба нұсқасы Пифагордан бірнеше ғасыр өткен соң, Герасалық Никомах б.з. 1-ші немесе 2-ші ғасырда өзінің «Келісім кітабында» (Harmonikḗ Encheirídion) баяндаған. Ол музыка теориясындағы сандық қатынастарды бейнелеу үшін б.з.б. 5 ғасырдағы Пифагоршыл философ Филолайға сүйенді. Танымал математик және музыка теоретигі Птолемей (б.з.д. 2 ғасыр) аңызбен байланысты салмақ әдісін білген, бірақ оны қабылдамады. Алайда, ол салмақ эксперименттерінің жалғандығын мойындамады; ол тек монокордтағы нақты өлшемдермен салыстырғанда олардың дәлсіздіктерін сынға алды. Ол бұл аңыз туралы білімін Никомахтан емес, қазір жоғалып кеткен көне дереккөзден алған болуы мүмкін. Империя дәуірінің музыка теоретигі Гауденций өзінің «Гармонияға кіріспесінде» (Harmonikḗ Eisagōgḗ) аңызды Никомахтың нұсқасынан сәл қысқаша сипаттады. III ғасырдың соңы мен IV ғасырдың басында философия оқытушысы болған халкистік неоплатоник философ Ямблих Пифагордың өмірбаянын, «Пифагор өмірі туралы» (On the Pythagorean Life) жазды, онда ол Никомахтың нұсқасындағы балғашы аңызын қайта жазды. V ғасырдың бірінші жартысында жазушы Макробий Цицеронның «Сципион арманы» (Somnium Scipionis) еңбегіне түсініктеме жазып, аңызды Никомахқа ұқсас түрде баяндады. Аңызды қабылдаған ежелгі музыка теоретиктерінің арасында ең күшті әсерді Боэцийдің 6-ғасырдың басында жазылған «Музыкаға кіріспесі» (De institutione musica) оқулығы жасады, онда ол бастапқыда Пифагордың қолөнердегі, содан кейін үйдегі ізденістерін сипаттайды. Ол Никомахтың жазбаларына сүйенді ме, әлде басқа деректерге сүйенді ме, белгісіз. Бұрынғы дәстүрге қайшы, ол бұрынғы авторлар болжаған төрт емес, бес балға туралы хабарлайды. Ол Пифагор бесінші балғаны қабылдамағанын, өйткені ол қалғандарымен қайшылық тудырғанын айтады. Боэцийдің есебінде (Макробий сияқты), Пифагор дыбыстың айырмашылығы адамдардың қол күшіне байланысты деген бастапқы болжамын тексеру үшін балғаларды алмастыруға мәжбүр еткен, бұл оның жоққа шығарылуына әкелді. Пифагордың үйіндегі тәжірибелер туралы Боэций философтың алдымен балғаның салмағына тең жіптерді ілгектеп, содан кейін құбырлар мен тостағандармен тәжірибе жүргізгенін, барлық тәжірибелер балғамен жасалған алғашқы тәжірибелермен бірдей нәтиже бергенін жазады. Аңызды негіз ретінде пайдаланып, Боэций ғылым мен эпистемология тұрғысынан сезімдік қабылдаудың сенімділігі туралы мәселені қарастырады. Ең бастысы, Пифагорды бастапқыда сезімдік қабылдау өзінің сұрағы мен гипотезасын тұжырымдауға итермелеген, ал гипотезаларды эмпирикалық сынау арқылы ол жоққа шығара алмайтын сенімділікке жеткен. Білімге жету жолы сезімдік қабылдаудан бастап, қате болып шыққан бастапқы гипотезаға дейін, содан кейін дұрыс пікір қалыптастыруға және ақыр соңында оны тексеруге дейін өтті. Боэций сезімдік қабылдаудың қажеттілігі мен құндылығын және түсінікке жету жолында пікір қалыптастыруды мойындайды, бірақ Платонист ретінде ол қателікке бейімділігі үшін сезімдік қабылдауға күмәнмен қарайды. Оның пікірінше, шынайы білім тек жүйелілікті ұғатын кезде пайда болады, бұл зерттеушіге сенерлік қабылдаудың сенімді емес болуына байланысты бастапқы тәуелділіктен босауға мүмкіндік береді. Зерттеушінің үкімдері эмпирикалық тәжірибеден алынған сезімдік үкімге ғана негізделуі тиіс емес, бірақ олар өздерін мүмкін сезімдік алдаулар аясынан тыс ұстауға мүмкіндік беретін ережені ойлану арқылы тапқаннан кейін ғана жасалуы керек. VI ғасырда ғалым Кассиодор өзінің Institutiones еңбегінде Гауденцийдің «музыканың» бастауын Пифагорға қарастырып, оның балғашы туралы аңызын жазғанын айтады. Ол музыка теориясына қатысты, сондай-ақ Ямблих та солай істеген, ол балғашы туралы әңгімеге және онда сипатталған тәжірибелерге сілтеме жасай отырып, Пифагорды «музыканың» ойлап табушысы деп атаған.

The earliest mention of Pythagoras' discovery of the mathematical basis of musical intervals is found in the Platonist Xenocrates (4th century BC); as it is only a quote from a lost work of this thinker, it is unclear whether he knew the forge legend. In the 4th century BC, criticism of the Pythagorean theory of intervals was already expressed, although without reference to the Pythagoras legend; the philosopher and music theorist Aristoxenus considered it to be false. The oldest recorded version of the legend was presented centuries after the time of Pythagoras by the Neopythagorean Nicomachus of Gerasa, who in the 1st or 2nd century AD documented the story in his Harmonikḗ Encheirídion ("Handbook of Harmony"). He relied on the philosopher Philolaus, a Pythagorean of the 5th century BC, for his representation of the numerical ratios in music theory. The famous mathematician and music theorist Ptolemy (2nd century AD) was aware of the weight method transmitted by the legend but rejected it. However, he did not recognize the falsity of the weight experiments; he only criticized their inaccuracies compared to the precise measurements on the monochord. It is probable that he obtained his knowledge of the legendary tradition not from Nicomachus but from an older source, now lost. The chronologically difficult to place music theorist of the Imperial era, Gaudentius, described the legend in his Harmonikḗ Eisagōgḗ ("Introduction to Harmony"), in a version slightly shorter than that of Nicomachus. The Neoplatonist philosopher Iamblichus of Chalcis, who worked as a philosophy teacher in the late 3rd and early 4th centuries, wrote a Pythagoras biography titled On the Pythagorean Life, in which he reproduced the blacksmith legend in the version of Nicomachus. In the first half of the 5th century, the writer Macrobius extensively discussed the blacksmith legend in his commentary on Cicero's Somnium Scipionis, which he described in a similar manner to Nikomachos. The strongest repercussion among the ancient music theorists who took up the narrative was achieved by Boethius with his textbook De institutione musica ("Introduction to Music"), written in the early 6th century, in which he initially describes Pythagoras' efforts of understanding in the forge and then at home. It is unclear whether he relied on Nikomachus' account or another source. In contrast to the entire earlier tradition, he reports five hammers instead of the four assumed by earlier authors. He claims that Pythagoras rejected the fifth hammer because it resulted in dissonance with all the other hammers. According to Boethius' account (as with Macrobius), Pythagoras tested his initial assumption that the difference in sound was due to different strength in the arms of the men by having the smiths exchange hammers, which led to its refutation. Regarding the experiments at Pythagoras' home, Boethius writes that the philosopher first hung strings with weights equal to those of the hammers in the forge and then experimented with pipes and cups, with all the experiments yielding the same results as the initial ones with the hammers. Using the legend as a basis, Boethius addresses the question of the reliability of sensory perceptions in terms of science and epistemology. The crucial point is that Pythagoras was initially prompted by sensory perception to formulate his question and hypotheses, and through empirical testing of hypotheses, he arrived at irrefutable certainty. The path to knowledge went from sensory perception to the initial hypothesis, which turned out to be erroneous, then to the formation of a correct opinion, and finally to its verification. Boethius acknowledges the necessity and value of sensory perception and opinion formation on the path to insight, although as a Platonist, he is inherently skeptical of sensory perception due to its proneness to error. Genuine knowledge, for him, arises only when the regularity is grasped, allowing the researcher to emancipate themselves from their initial dependence on unreliable sensory perception. The judgment of the researcher must not be based solely on sensory judgment derived from empirical experience, but rather it should only be made once they have found a rule through deliberation that enables them to position themselves beyond the realm of possible sensory deception. In the 6th century, the scholar Cassiodorus wrote in his Institutiones that Gaudentius attributed the beginnings "of music" to Pythagoras in his account of the legend of the blacksmith. He was referring to music theory, as Iamblichus had also done, who, with reference to the blacksmith narrative and the experiments described there, had referred to Pythagoras as the inventor "of music."

Орта ғасырлар

Ерте орта ғасырларда Севильялық Исидор өзінің "Этимологиясында" темірші туралы аңызды айтқан, ол орта ғасырлардағы білімді адамдар үшін маңызды анықтамалық еңбекке айналды. Ол бұл аңызды қысқаша баяндап, Кассиодордың сөздерін пайдаланды, сондай-ақ Пифагорды музыканы ойлап тапқан адам деп атады. Кассиодор мен Исидор орта ғасырлардағы аса беделді тұлғалар болғандықтан, Пифагор музыканың негізгі заңын ашқан және осылайша оның негізін қалаған деген пікір кеңінен тарады. Мұндай кең ауқымды мәлімдемелерге қарамастан, орта ғасырлық музыка теоретиктері музыка Пифагордан бұрын да болған деп есептеді және "музыканың өнертабысы" оның қағидаларын ашумен байланысты болды. 9 ғасырда музыкатанушы Аврелиан Реомский өзінің "Музыка дисциплинасы" ("Музыка теориясы") атты еңбегінде аңызды қайта баяндады. Аурелианның баянына 10 ғасырда Прумдық Реджино өзінің "De harmonica institutione" ("Гармония теориясына кіріспе") еңбегінде еліктеді. Екеуі де Пифагордың құдайлық көмекпен темірші шеберханасында жаңалық ашқанын атап көрсетті. Көне заманда Никомах пен Ямблих құдайлық күштер туралы айтқан, ал Боэций оны құдайдың бұйрығына айналдырған. 11 ғасырда аңыздық материал "Carmina Cantabrigiensia" еңбегінде өңделді. 11 ғасырдың бірінші жартысында орта ғасырдың ең танымал музыка теоретиктерінің бірі – Гвидо Ареццо өзінің "Микрологтың" соңғы тарауында Боэцийдің нұсқасына сүйене отырып, темірші туралы аңызды баяндады. Гвидо бастауында былай деді: Егер құдайлық игілік өз еркімен келесі оқиғаны іске асырмағанда, ешкім де бұл өнер (музыка) туралы ешқандай нақты мәліметке қол жеткізе алмас еді. Ол балғалардың салмағы 12, 9, 8 және 6 бірлікке тең болғандықтан, үйлесімді дыбыс тудырғанын құдайлық қамқорлыққа байланысты деп есептеді. Сондай-ақ ол Пифагордың өзінің жаңалығынан бастап монохордты ойлап тапқанын айтты, бірақ оның қасиеттерін егжей-тегжейлі сипаттамады. Иоганн Коттоның ("De musica" – Джон Котон немесе Иоганн Аффлигемен) еңбегі шамамен 1250 жылы Альдерсбах цистерциандық аббаттығындағы анонимді кітап безендетушісінің қолымен темірші сахнасымен суреттелген. Боэцийдің нұсқасына сәйкес балға туралы аңызды баяндаған орта ғасырлық музыка теоретиктерінің қатарында XIII ғасырдың соңы мен XIV ғасырдың басында белсенді болған Хуан Гил де Замора (Иоганнес Эгидий фон Замора), XIV ғасырда Иоганнес де Мурис және Саймон Тунстеде, ал XV ғасырда жаңа заманның бастауында Адам фон Фулда болды. Пифагорлық тұжырымдамаға қарсылас ретінде, ырғақтар белгілі бір сандық қатынастарға негізделгенін жақтаған Иоганнес де Грошейо 13 ғасырда пайда болды, ол Аристотельдік көзқарасқа сүйенді. Ол Пифагордың музыка принциптерін ашқанын ашық айтқанмен, сенімді деп санайтын Боэцийді келтіріп, балға туралы аңызды баяндады, бірақ Пифагордың ырғақтар теориясын қабылдамады, оны тек метафоралық тұжырымдама ретінде қарастырғысы келді.

In the Early Middle Ages, Isidore of Seville mentioned the legend of the blacksmith in his Etymologiae, which became a fundamental reference work for the educated in the Middle Ages. He briefly mentioned the legend, adopting Cassiodorus' wording and also designating Pythagoras as the inventor of music. As Cassiodorus and Isidore were first rate authorities in the Middle Ages, the notion spread that Pythagoras had discovered the fundamental law of music and thus had been its founder. Despite such sweeping statements, medieval music theorists assumed that music had existed before Pythagoras and that the "invention of music" referred to the discovery of its principles. In the 9th century, the musicologist Aurelian of Réomé recounted the legend in his Musica disciplina ("Music Theory"). Aurelian's account was followed in the 10th century by Regino of Prüm in his work De harmonica institutione ("Introduction to Harmonic Theory"). Both emphasized that Pythagoras had been given the opportunity to make his discovery in the blacksmith's forge through a divine providence. In antiquity, Nicomachus and Iamblichus had already spoken of a daimonic providence, and Boethius had transformed it into a divine decree. In the 11th century, the legendary material was processed in the Carmina Cantabrigiensia. In the first half of the 11th century, Guido of Arezzo, the most famous music theorist of the Middle Ages, recounted the legend of the blacksmith in the final chapter of his Micrologus, basing it on the version of Boethius, whom he named specifically. Guido remarked at the outset: Nor would anyone ever have discovered anything certain about this art (music) if, in the end, divine goodness had not brought about the following event at its behest. He attributed the fact that the hammers weighed 12, 9, 8, and 6 units and thus produced harmonious sound to God's providence. He also mentioned that Pythagoras, starting from his discovery, had invented the monochord, but did not go into detail about its properties. The work De musica by Johannes Cotto (also known as John Cotton or Johannes Afflighemensis) was illustrated with the blacksmith scene around 1250 by an anonymous book illuminator in the Cistercian Abbey of Aldersbach. Among the medieval music theorists who told the legend of the forge according to Boethius' version, were also Juan Gil de Zámora (Johannes Aegidius von Zamora), active in the late 13th and early 14th centuries, Johannes de Muris and Simon Tunstede in the 14th century, and Adam von Fulda on the threshold of the early modern period in the 15th century. As an opponent of the Pythagorean conception, which held that consonances were based on certain numerical ratios, Johannes de Grocheio emerged in the 13th century, starting from an Aristotelian perspective. Although he explicitly stated that Pythagoras had discovered the principles of music, and he told the legend of the forge citing Boethius, whom he considered trustworthy, he rejected the Pythagorean theory of consonance, which he wanted to reduce to a merely metaphorical expression.

Ерте заманауи кезең

Франчино Гаффурио өзінің "Theoricum opus musice discipline" ("Музыка ғылымының теориялық еңбегі") атты еңбегін 1480 жылы Неаполь қаласында жариялады, ол 1492 жылы "Theorica musice" ("Музыка теориясы") деген атаумен қайта қаралып, қайта басылды. Онда ол бұрынғы барлық айтылымдардан гөрі толыққанды әрі егжей-тегжейлі балқыма аңызын ұсынды. Ол өзінің нұсқасын Боэцийдің нұсқасына негіздеп, баяндамаға мүмкіндігінше сегіздіктің көптеген дыбыстарын қосу үшін алтыншы балғаны қосты. Ол төрт сурет арқылы әрқайсысы алты гармониялық дыбыс беретін музыкалық аспаптарды немесе дыбыс тудыратын құралдарды көрсетті және таңбадағы дыбыстарға сәйкес келетін 4, 6, 8, 9, 12 және 16 сандарын көрсетті. Аңыздың төрт дәстүрлі қатынасына (6, 8, 9 және 12) қоса, ол 4 және 16 сандарын қосты, олар бір квинта төмен және бір кварта жоғары дыбыстарды білдіреді. Дыбыстардың тізбегі енді бір ғана емес, екі октаваға дейін созылады. Бұл сандар, мысалы, f – c' – f' – g' – c" – f": Суретші Эрхард Сансдорфферге 1546 жылы Гессендегі Бюдинген қамалында фреска жасау тапсырылды, ол жақсы сақталған және Пифагордың шеберханасынан басталатын музыка тарихын қамтитын жинақ болып табылады. Джозеффо Зарлино да бұл аңызды өзінің "Le istitutioni harmoniche" ("Гармония негіздері") атты еңбегінде баяндады, оны 1558 жылы жариялады; Гаффурио сияқты ол да өзінің айтуынша Боэцийдің нұсқасына негізделген. Музыка теоретигі Винченцо Галилей, Галилео Галилейдің әкесі, 1589 жылы өзінің ұстазы Зарлиноның көзқарастарына қарсы бағытталған "Discorso intorno all’opere di messer Gioseffo Zarlino" ("Джозеффо Зарлино мырзаның еңбектері туралы әңгіме") атты трактатын жариялады. Онда ол аңызға сәйкес, ішектерді салмақпен жүктеу туралы мәліметтің дұрыс еместігін көрсетті. 1626 жылы Дэниел Мейснердің "Thesaurus philopoliticus" еңбегінде Эберхард Кизердің "Duynkirchen" атты мыс гравюрасы орналасқан, онда тек үш ұста бар. Латын және неміс тілдеріндегі жазуда:[2] Triplicibus percussa sonat varie ictibus incus. Musica Pythagoras struit hinc fundamina princ(eps). Үш рет соққанда, кермек әртүрлі дыбыстармен дыңылдайды. Музыка – Пифагор салған негіз, оны ешбір есек басы жеткізе алмас. Бірнеше жылдан кейін бұл мәселе Галилео Галилей мен Марин Мерсеннің ішектердің тербелісінің заңдылықтарын ашқаннан кейін нақты анықталды. 1636 жылы Мерсен өзінің "Harmonie universelle" атты еңбегін жариялады, онда ол аңыздағы физикалық қателікті түсіндірді: тербеліс жиілігі кернеуге емес, оның квадрат түбіріне пропорционалды. [3] Бірнеше композиторлар бұл тақырыпты өздерінің шығармаларына енгізді, соның ішінде 17 ғасырдың соңында Георг Муффат және Руперт Игнац Майр.

Franchino Gaffurio published his work Theoricum opus musice discipline ("Theoretical Music Theory") in Naples in 1480, which was revised and republished in 1492 under the title Theorica musice ("Music Theory"). In it, he presented a version of the legend of the forge that surpassed all previous accounts in detail. He based his version on that of Boethius and added a sixth hammer in order to include as many tones of the octave as possible in the narrative. In four pictorial representations, he presented musical instruments or sound generators, each with six harmonic tones, and indicated the numbers 4, 6, 8, 9, 12, and 16 associated with the tones in the labels. In addition to the four traditional ratios of the legend (6, 8, 9, and 12), he added 4 and 16, which represent a tone a fifth lower and another tone a fourth higher. The entire sequence of tones now extends not only over one, but over two octaves. These numbers correspond, for example, to the tones f – c' – f' – g' – c" – f":

The painter Erhard Sanßdorffer was commissioned in 1546 to create a fresco in the Hessian Büdingen Castle, which is well preserved and represents the history of music starting from the forge of Pythagoras like a compendium. Gioseffo Zarlino also recounted the legend in his work Le istitutioni harmoniche ("The Foundations of Harmony"), which he published in 1558; like Gaffurio, he based his account on Boethius' version. The music theorist Vincenzo Galilei, the father of Galileo Galilei, published his treatise Discorso intorno all’opere di messer Gioseffo Zarlino ("Discourse on the Works of Mr. Gioseffo Zarlino") in 1589, which was directed against the views of his teacher Zarlino. In it, he pointed out that the information in the legend about the loading of strings with weights is not accurate. [1]

In 1626, the Thesaurus philopoliticus by Daniel Meisner featured a copper engraving titled "Duynkirchen" by Eberhard Kieser, depicting only three blacksmiths at an anvil. The Latin and German caption reads:[2]

Triplicibus percussa sonat varie ictibus incus. Musica Pythagoras struit hinc fundamina princ(eps). The anvil sounds with triple strikes, producing three different tones. Music is the foundation built by Pythagoras, which no donkey's head could have achieved. A few years later, the matter was definitively clarified after Galileo Galilei and Marin Mersenne discovered the laws of string vibrations. In 1636, Mersenne published his Harmonie universelle, in which he explained the physical error in the legend: the vibration frequency is not proportional to the tension, but to its square root. [3]

Several composers incorporated this subject matter into their works, including Georg Muffat at the end of the 17th century. and Rupert Ignaz Mayr.

Қазіргі заман

ХІХ ғасырда да Гегель философия тарихы бойынша лекцияларында Пифагор аңызында айтылған өлшемдердің физикалық дұрыстығын мойындады. Вернер Гейзенберг 1937 жылы жарық көрген эссесінде Пифагордың "гармонияның математикалық анықтығын табуы" "математикалық құрылымдардың мағыналы күші туралы идеяға" негізделгенін, бұл "қазіргі заманғы нақты ғылымның ежелгі дүниеден мұра еткен түйінді идеясы" екенін айтты; Пифагорға жатқызылған жаңалық "адамзат ғылымының ең күшті серпілістерінің" бірі болып табылады. Көп жақында ғана, аңыздың физикалық және тарихи жалған екендігіне сілтеме жасалмай, сынсыз түрде қайта жарияланған еңбектер пайда болды. Мысалы, Даниэль Хеллер Роазеннің "Бесінші балға: Пифагор және әлемнің үйлесімсіздігі" атты ғылыми-танымдық кітабында.