Введение

Согласно легенде, Пифагор открыл основы музыкального строя, слушая звуки четырех кузнечных молотов, которые при одновременном ударе издавали согласные и диссонирующие звуки. По словам Никомаха в его «Enchiridion harmonices» II века н.э., Пифагор заметил, что молот A при ударе вместе с молотом B создавал консонанс, молот C – консонанс с молотом A, но молоты B и C при ударе друг о друга издавали диссонанс. Молот D создавал настолько совершенный консонанс с молотом A, что они, казалось, «пели» одну и ту же ноту. Пифагор поспешил в кузницу, чтобы выяснить причину, и обнаружил, что объяснение кроется в соотношении веса. Молоты весили 12, 9, 8 и 6 фунтов соответственно. Соотношение веса молотов A и D было 2:1, что соответствует октаве. Молоты B и C весили 8 и 9 фунтов. Их соотношение к молоту D было (12:8 = 3:2 = чистая квинта) и (12:9 = 4:3 = чистая кварта). Интервал между B и C составляет соотношение 9:8, что равно музыкальному целому тону или большому секундному интервалу.

Вес молота | Интервал | Зубило | В
---|---|---|---
C | A | 6 | C
B | 8 | G
C | 9 | F
D | 12 | C'

Легенда, по крайней мере в отношении молотов, доказано ложна. Вероятно, это ближневосточная народная сказка. Эти пропорции действительно применимы к длине струн (например, монохорды) — используя эти основополагающие интервалы, можно построить хроматическую гамму и основную семиступенчатую диатоническую гамму, используемую в современной музыке, и Пифагор вполне мог повлиять на открытие этих пропорций (отсюда иногда используется термин «пифагорейский строй»), но эти пропорции не имеют той же связи с весом молота и издаваемыми им тонами. Однако зубила, приводимые в действие молотом и имеющие одинаковое поперечное сечение, демонстрируют точное соотношение между длиной или весом и собственной частотой. Более ранние источники упоминают интерес Пифагора к гармонии и соотношениям. Ксенократ (IV век до н.э.), хотя и не упоминает историю с кузнецом, описал интерес Пифагора в общих чертах: «Пифагор также обнаружил, что музыкальные интервалы не возникают отдельно от чисел; ибо они представляют собой взаимосвязь количества с количеством. Поэтому он принялся исследовать, при каких условиях возникают консонирующие и диссонирующие интервалы, а также все, что хорошо и плохо настроено». Независимо от деталей открытия связи между музыкой и соотношениями, это исторически считается первым эмпирически подтвержденным математическим описанием физического факта. Таким образом, это символизирует и, возможно, приводит к пифагорейскому пониманию математики как modus operandi природы. Как позднее писал Аристотель, «пифагорейцы строят всю Вселенную из чисел». «Микролог» Гидо из Ареццо повторяет эту легенду в главе XX.

Содержание легенды

Согласно самой старой зафиксированной версии легенды, Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, искал инструмент для измерения акустических восприятий, подобный тому, как геометрические величины измеряются циркулем или веса – весами. Проходя мимо кузницы, где работали четыре (по более поздней версии, пять) кузнецов с молотами, он заметил, что каждый удар издавал звуки разной высоты, которые при сочетании образовывали гармонии. Он смог различить октаву, квинту и кварту. Лишь одна пара, формирующая интервал между квартой и квинтой (большой секундой), казалась ему диссонансной. Взволнованный, он вошел в кузницу, чтобы провести эксперименты. Там он обнаружил, что разница в высоте звука не зависела от формы молота, места удара по железу или силы удара. Он смог связать высоту звука с весом молотов, который он точно измерял. Затем он вернулся домой, чтобы продолжить исследования. Он последовательно подвесил четыре одинаково длинные, прочные и скрученные струны к колышку, прикрепленному по диагонали к углу стены, и, прикрепляя к ним разные грузы, изменял их натяжение. Затем он ударял по струнам попарно, и в них звучали те же гармонии, что и в кузнице. Струна с наибольшим грузом в двенадцать единиц, в сочетании с наименее нагруженной струной в шесть единиц, давала октаву. Таким образом, стало очевидно, что октава основана на отношении 12:6, или 2:1. Наиболее натянутая струна давала квинту со второй по слабой натяжению струной (восемь единиц), а кварту – со второй по силе натяжения струной (девять единиц). Отсюда следовало, что квинта основана на отношении 12:8, или 3:2, а кварта – на отношении 12:9, или 4:3. Снова, отношение второй по силе натяжения струны к самой слабой, 9:6, или 3:2, давало квинту, а отношение второй по слабой натяжению струны к самой слабой, 8:6, или 4:3, давало кварту. Для диссонирующего интервала между квинтой и квартой выяснилось, что он основан на отношении 9:8, что совпадало с измерениями веса, проведенными в кузнице. Октава оказалась произведением квинты и кварты:

Пифагор затем расширил эксперимент на различные инструменты, экспериментировал с сосудами, флейтами, треугольниками, монохордом и т.д., всегда находя одни и те же числовые соотношения. Наконец, он ввел общепринятую терминологию для обозначения относительной высоты звука.

Дальнейшие традиции

С изобретением монохорда для исследования и демонстрации гармонии пар струн с различными целочисленными соотношениями длин, Пифагору приписывают создание удобного средства для иллюстрации математических основ теории музыки, которую он открыл. Монокорд, называемый κανών (kanōn) в греческом языке и regula в латинском, представляет собой резонирующую коробку с натянутой над ней струной. К коробке прикреплена измерительная шкала. Устройство оснащено подвижным подставкой, позволяющей делить длину колеблющейся струны; деление можно точно определить с помощью измерительной шкалы. Это позволяет измерять интервалы. Несмотря на название «монокорд», что означает «однострунный», существовали также многострунные монокорды, способные воспроизводить одновременные интервалы. Однако время изобретения монохорда остается неясным. Вальтер Буркерт датирует это достижение периодом, последовавшим за эпохой Аристотеля, который, по-видимому, не знал об этом устройстве; таким образом, монокорд был изобретен спустя долгое время после смерти Пифагора. С другой стороны, Леонид Жмуд предполагает, что Пифагор, вероятно, проводил свой эксперимент, приведший к открытию числовых соотношений, используя монокорд. Гиппас из Метапонта, ранний пифагореец (конец VI и начало V вв. до н.э.), проводил количественные исследования музыкальных интервалов. Эксперимент, приписываемый Гиппасу, с участием свободно колеблющихся круглых пластин различной толщины, физически верен, в отличие от предполагаемых экспериментов Пифагора. Неизвестно, проводил ли Архит из Тарента, важный пифагореец V-IV веков до н.э., соответствующие эксперименты. Вероятно, он был скорее теоретиком, чем практиком в музыке, но ссылался на акустические наблюдения своих предшественников. Музыкальные примеры, которые он приводит в поддержку своей акустической теории, относятся к духовым инструментам; он не упоминает об экспериментах со струнными инструментами или отдельными струнами. Архит исходил из ошибочной гипотезы о том, что высота звука зависит от скорости распространения звука и силы воздействия на звукоизлучающее тело; на самом деле скорость звука постоянна в данной среде, а сила влияет только на громкость.

Интерпретация легенды

Уолтер Беркерт полагает, что, несмотря на физическую невозможность, легенду не следует рассматривать как произвольное изобретение, а скорее как обладающую смыслом, который можно обнаружить в греческой мифологии. Идейские дактили, мифические изобретатели кузнечного дела, согласно мифу, были также изобретателями музыки. Таким образом, существовала очень древняя традиция, связывающая кузнечное дело с музыкой, в которой мифические кузнецы изображались как обладатели секрета магической музыки. Буркерт рассматривает легенду о Пифагоре и кузнецах как позднюю трансформацию и рационализацию древнего мифа о дактилях: в легенде о Пифагоре кузнецы уже не предстают обладателями древних магических знаний, а скорее, невольно становятся, хотя и не осознавая этого, «учителями» Пифагора. В раннем Средневековье Исидор Севильский называл библейского кузнеца Тувала изобретателем музыки, и более поздние авторы последовали его примеру. Эта традиция вновь демонстрирует идею связи между кузнечным делом и музыкой, которая также встречается в неевропейских мифах и легендах. Тувал был сводным братом Ювала, считавшегося прародителем всех музыкантов. Оба были сыновьями Ламеха и, следовательно, внуками Каина. В некоторых средневековых христианских традициях Ювал, наблюдавший за своим братом Тувалом, отождествлялся с Пифагором. Другое объяснение предлагает Йорген Растед, опираясь на работы Леонида Жмуда. Гипотеза Растеда заключается в том, что отправной точкой формирования легенды послужил отчет об экспериментах Гиппаса. Гиппас использовал сосуды, называемые "sphaírai". Это слово по ошибке было перепутано со словом "sphýrai" (молоты) из-за ошибки переписчика, и вместо имени Гиппаса имя Пифагора было использовано как имя создателя экспериментов. Так возникла легенда о кузнице.

Значение для последующего развития тональных систем

Дальнейшее исследование интервалов, состоящих из октав, квинт и кварт, и их кратных, в конечном итоге привело от диатонических ладов с семью различными тонами (гептатонический лад) в пифагорейском строе к хроматическому ладу с двенадцатью тонами. Вольфовы интервалы в пифагорейском строе представляли проблему: вместо чистых квинт Ля♭ – Ми♭ и Ре♭ – Ля♭ звучали квинты Соль♯ – Ми♭ и До♯ – Ля♭, расстроенные пифагорейской запятой. С развитием полифонии во второй половине XV века, наряду с октавой и квинтой, чистая терция стала важнейшей для мажорных и минорных трезвучий. Хотя этот строй нельзя было реализовать на двенадцатиклавишной клавиатуре, его можно было успешно достичь в среднем тоне. Его недостатком было то, что не все тональности круга квинт были играбельны. Чтобы устранить этот недостаток, были введены темперации, хотя и ценой некоторого ухудшения чистоты терции в некоторых тональностях. В настоящее время большинство инструментов настраиваются в равной темперации с двенадцатью тонами, при которой октавы идеально чисты, квинты почти чисты, а терции звучат несколько диссонансно.

Четыре пифагорейских тона в музыке

В музыке четыре гармонических пифагорейских тона играют заметную роль в пентатонической шкале, особенно на первой, четвертой, пятой и восьмой ступенях диатонических гамм (особенно в мажорной и минорной) и в построении каденций как основополагающие тоны тоники, субдоминанты и доминанты. Эта последовательность тонов часто встречается в каденциях вместе с соответствующими аккордами:

Четыре пифагорейских тона встречаются во многих композициях. Первые тоны средневековых антифонов "Ad te levavi" и "Factus est repente" по существу состоят из четырех пифагорейских тонов, не считая некоторых орнаментов и высоких нот. Другой пример – начало Пассакалии до минор Иоганна Себастьяна Баха. Тема состоит из пятнадцати тонов, из которых в общей сложности десять тонов, и особенно последние четыре тона, происходят из этой последовательности.

Продольные колебания и естественная частота твердых тел

Для оценки металлического блока рассмотрим однородную прямоугольную призму с максимальной длиной и изготовленную из материала со скоростью звука. Для моды колебаний вдоль самой длинной стороны (продольные колебания) у неё самая низкая собственная частота с антиузлами на обоих концах и узлом в середине. Следовательно, высота тона не зависит от массы и площади поперечного сечения призмы, и площадь поперечного сечения может даже изменяться. Более того, сила и скорость удара по телу также не имеют значения. По крайней мере, этот факт соответствует наблюдению, приписываемому Пифагору, о том, что воспринимаемая высота тона не зависела от рук (и, следовательно, от усилий) мастеров. Тела с более сложной геометрией, такие как колокола, чаши или миски, которые могут быть даже заполнены жидкостями, имеют собственные частоты, требующие значительно более сложных физических описаний, поскольку необходимо учитывать не только форму, но и толщину стенок или даже точку удара. В этих случаях могут возбуждаться и быть слышимыми также поперечные колебания.

Молоты

Очень большой молот (скорость звука в стали составляет приблизительно = 5000 метров в секунду) с длиной ударной части = 0,2 метра имеет собственную частоту 12,5 килогерц. При квадратном поперечном сечении площадью 0,1 квадратного метра (0,1 метра на 0,1 метра) он обладает необычно большой массой, почти 16 килограммов, при плотности 7,86 грамма на кубический сантиметр. Частоты выше примерно 15 килогерц уже не воспринимаются многими людьми (см. порог слышимости); следовательно, собственная частота такого большого молота едва различима на слух. Молоты с более короткой ударной частью имеют еще более высокие собственные частоты, которые, соответственно, неслышны.

Металлические стержни

Можно сравнить металлические стержни, такие как зубила, используемые каменщиками, или клинья для раскалывания камня, чтобы прийти к наблюдению, аналогичному тому, что приписывается Пифагору, а именно, что частота колебаний инструментов пропорциональна их весу. Если металлические стержни, не учитывая сужающиеся режущие кромки, имеют одинаковую равномерную площадь поперечного сечения A, но разную длину l, то их вес пропорционален длине и, следовательно, частоте колебаний, при условии, что металлические стержни возбуждаются продольными колебаниями ударами вдоль продольной оси (звуковые примеры можно найти в блоке справа). Для изгибных осцилляторов, таких как камертоны или пластины металофонов, действуют иные условия и законы, поэтому эти соображения к ним неприменимы.

Вибрации струны

Струны можно закрепить на двух концах, каждый на подставке. В отличие от твердого тела с продольными колебаниями, две подставки задают граничные условия для двух узлов колебаний; следовательно, вибрационный узел находится в середине. Собственная частота и, как следствие, высота тона струны заданной длины пропорциональны не натяжению, а квадратному корню из натяжения. Более того, частота увеличивается с ростом силы натяжения и, следовательно, с увеличением натяжения, а не уменьшается: тем не менее, частота колебаний обратно пропорциональна длине струны при постоянном натяжении, что можно непосредственно продемонстрировать на монохорде, предположительно изобретенном Пифагором.

Античность

Самое раннее упоминание об открытии Пифагором математической основы музыкальных интервалов встречается в трудах платоника Ксенократа (IV век до н.э.); поскольку это лишь цитата из утраченного сочинения этого мыслителя, неясно, был ли он знаком с легендой о кузнеце. В IV веке до н.э. уже высказывалась критика пифагорейской теории интервалов, однако без ссылки на легенду о Пифагоре; философ и теоретик музыки Аристоксен считал её ошибочной. Самая древняя зафиксированная версия легенды была представлена спустя столетия после жизни Пифагора неопифагорейцем Никомахом из Герасы, который в I или II веке н.э. задокументировал историю в своём «Harmonikḗ Encheirídion» («Руководство по гармонии»). Он опирался на философа Филолая, пифагорейца V века до н.э., в его изложении численных соотношений в теории музыки. Знаменитый математик и теоретик музыки Птолемей (II век н.э.) был знаком с методом взвешивания, передаваемым легендой, но отверг его. Однако он не признал ошибочности весовых экспериментов; он лишь критиковал их неточность по сравнению с прецизионными измерениями на монохорде. Вероятно, он почерпнул свои знания о легендарной традиции не от Никомаха, а из более раннего, ныне утраченного источника. Музыкальный теоретик имперской эпохи Гауденций, чронoлогически сложно определяемый, описал легенду в своём «Harmonikḗ Eisagōgḗ» («Введение в гармонию») в версии, немного более краткой, чем у Никомаха. Неоплатонический философ Ямвлих из Халкиды, работавший преподавателем философии в конце III и начале IV веков, написал биографию Пифагора под названием «О жизни Пифагора», в которой воспроизвёл легенду о кузнеце в версии Никомаха. В первой половине V века писатель Макробий подробно обсудил легенду о кузнеце в своём комментарии к «Somnium Scipionis» Цицерона, описав её аналогично Никомаху. Наибольшее влияние среди древних музыкальных теоретиков, обратившихся к этому повествованию, оказал Боэций со своим учебником «De institutione musica» («Введение в музыку»), написанным в начале VI века, в котором он сначала описывает усилия Пифагора по постижению истины в кузнице, а затем и дома. Неизвестно, опирался ли он на рассказ Никомаха или на другой источник. В отличие от всей предшествующей традиции, он сообщает о пяти молотах вместо четырёх, предполагавшихся более ранними авторами. Он утверждает, что Пифагор отверг пятый молот, поскольку он приводил к диссонансу со всеми остальными. Согласно рассказу Боэция (как и Макробия), Пифагор проверил своё первоначальное предположение о том, что разница в звуке обусловлена различной силой рук кузнецов, попросив их поменяться молотами, что привело к его опровержению. Что касается экспериментов в доме Пифагора, Боэций пишет, что философ сначала подвесил струны с грузами, равными весу молотов в кузнице, а затем экспериментировал с трубами и сосудами, и все эксперименты давали те же результаты, что и первоначальные с молотами. Используя легенду в качестве основы, Боэций рассматривает вопрос о надёжности чувственного восприятия с точки зрения науки и эпистемологии. Ключевым моментом является то, что Пифагора изначально побудило чувственное восприятие сформулировать свой вопрос и гипотезы, и посредством эмпирического тестирования гипотез он пришёл к неопровержимой уверенности. Путь к знанию шёл от чувственного восприятия к первоначальной гипотезе, оказавшейся ошибочной, затем к формированию верного мнения и, наконец, к его проверке. Боэций признаёт необходимость и ценность чувственного восприятия и формирования мнений на пути к пониманию, хотя, как платоник, он по своей сути скептически относится к чувственному восприятию из-за его подверженности ошибкам. Истинное знание, по его мнению, возникает лишь тогда, когда постигается закономерность, позволяющая исследователю освободиться от первоначальной зависимости от ненадежного чувственного восприятия. Суждение исследователя не должно основываться исключительно на чувственном суждении, полученном из эмпирического опыта, а должно быть вынесено лишь после того, как он обнаружит правило, позволяющее ему выйти за пределы сферы возможного чувственного обмана. В VI веке учёный Кассиодор писал в своих «Institutiones», что Гауденций приписывал начало «музыки» Пифагору в своём изложении легенды о кузнеце. Он имел в виду теорию музыки, как это сделал и Ямвлих, который, ссылаясь на рассказ о кузнецах и описанные там эксперименты, называл Пифагора изобретателем «музыки».

Средние века

В раннем Средневековье Исидор Севильский упомянул легенду о кузнеце в своей книге «Этимологии», которая стала фундаментальным справочным трудом для образованных людей в Средние века. Он кратко упомянул легенду, приняв формулировки Кассиодора, а также назвал Пифагора изобретателем музыки. Поскольку Кассиодор и Исидор были авторитетными учеными в Средние века, распространилось мнение, что Пифагор открыл основополагающий закон музыки и, таким образом, был ее основателем. Несмотря на столь масштабные утверждения, средневековые теоретики музыки полагали, что музыка существовала до Пифагора и что «изобретение музыки» относилось к открытию ее принципов. В IX веке музыковед Аврелиан Рёме пересказал легенду в своем труде «Musica disciplina» («Теория музыки»). За повествованием Аврелиана в X веке последовал Реджино Прумский в своей работе «De harmonica institutione» («Введение в теорию гармонии»). Оба подчеркивали, что Пифагор получил возможность совершить свое открытие в кузнице благодаря божественному провидению. В античности Никомах и Ямблих уже говорили о демоническом провидении, а Боэций преобразовал его в божественный указ. В XI веке легендарный материал был обработан в «Carmina Cantabrigiensia». В первой половине XI века Гидо из Ареццо, самый известный музыкальный теоретик Средневековья, пересказал легенду о кузнеце в заключительной главе своего «Микролога», основываясь на версии Боэтия, которого он специально упомянул. Гидо отметил в начале: «Никто бы никогда не открыл ничего определенного об этом искусстве (музыке), если бы, в конечном итоге, божественная благость не привела к следующему событию по своей воле». Он приписывал тот факт, что молоты весили 12, 9, 8 и 6 единиц и, таким образом, издавали гармоничный звук, Божьему провидению. Он также упомянул, что Пифагор, исходя из своего открытия, изобрел монохорд, но не вдался в подробности о его свойствах. Работа «De musica» Иоганна Котто (также известного как Джон Коттон или Иоганн Аффлигеменсис) была проиллюстрирована сценой в кузнице около 1250 года анонимным иллюминатором книг в цистерцианском аббатстве Альдерсбах. Среди средневековых музыкальных теоретиков, пересказавших легенду о кузнице по версии Боэтия, были также Хуан Гил де Замора (Johannes Aegidius von Zamora), активный в конце XIII и начале XIV веков, Йоханнес де Мурис и Саймон Тунстед в XIV веке, и Адам фон Фулда на рубеже раннего Нового времени в XV веке. Как противник пифагорейской концепции, согласно которой консонансы основывались на определенных числовых соотношениях, в XIII веке выступил Йоханнес де Грочей, исходивший из аристотелевской перспективы. Хотя он прямо заявил, что Пифагор открыл принципы музыки, и пересказал легенду о кузнице, ссылаясь на Боэтия, которого считал надежным источником, он отверг пифагорейскую теорию консонансов, которую хотел свести к чисто метафорическому выражению.

Ранний современный период

Франчино Гаффурио опубликовал свою работу Theoricum opus musice discipline («Теоретический труд о дисциплине музыки») в Неаполе в 1480 году, которая была пересмотрена и переиздана в 1492 году под названием Theorica musice («Теория музыки»). В ней он представил версию легенды о кузнице, превосходившую все предыдущие описания по степени детализации. Он основывал свою версию на версии Боэция и добавил шестой молот, чтобы включить в повествование как можно больше тонов октавы. В четырех изобразительных представлениях он представил музыкальные инструменты или звукоизвлекатели, каждый из которых имел шесть гармонических тонов, и указал цифры 4, 6, 8, 9, 12 и 16, связанные с тонами на надписях. В дополнение к четырем традиционным соотношениям легенды (6, 8, 9 и 12), он добавил 4 и 16, которые представляют собой тон на квинту ниже и тон на кварту выше. Вся последовательность тонов теперь охватывает не одну, а две октавы. Эти числа соответствуют, например, тонам f – c' – f' – g' – c" – f": художнику Эрхарду Сансдорфферу было поручено в 1546 году создать фреску в Гессенском замке Бюдинген, которая хорошо сохранилась и представляет историю музыки, начиная с кузницы Пифагора, в виде компиляции. Джозеффо Зарлино также пересказал легенду в своей работе Le istitutioni harmoniche («Основы гармонии»), опубликованной в 1558 году; как и Гаффурио, он основывал свой рассказ на версии Боэция. Музыкальный теоретик Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, опубликовал в 1589 году свой трактат Discorso intorno all’opere di messer Gioseffo Zarlino («Рассуждение о произведениях мессера Джозеффо Зарлино»), направленный против взглядов его учителя Зарлино. В нем он указал, что информация в легенде о нагрузке струн весами не является точной. [1]

В 1626 году в Thesaurus philopoliticus («Филополитический сокровищнице») Даниэля Майснера была представлена медная гравюра Эберхарда Кизера под названием «Duynkirchen», изображающая лишь трех кузнецов у наковальни. Латинская и немецкая надпись гласит:[2]

Triplicibus percussa sonat varie ictibus incus. Musica Pythagoras struit hinc fundamina princ(eps). Наковальня звучит тройными ударами, производя три различных тона. Музыка – это основа, заложенная Пифагором, которой не смог бы достичь ни один осел. Несколько лет спустя вопрос был окончательно прояснен после того, как Галилео Галилей и Марен Мерсенн открыли законы колебания струн. В 1636 году Мерсенн опубликовал свою Harmonie universelle («Всеобщую гармонию»), в которой объяснил физическую ошибку в легенде: частота колебаний пропорциональна не натяжению, а его квадратному корню. [3]

Несколько композиторов включили эту тему в свои произведения, в том числе Георг Муффат в конце XVII века и Руперт Игнац Майр.

Современная эпоха

Даже в XIX веке Гегель в своих лекциях по истории философии исходил из физической достоверности предполагаемых измерений, упоминаемых в легенде о Пифагоре. Вернер Гейзенберг в эссе, впервые опубликованном в 1937 году, подчеркнул, что пифагорейское «открытие математической определенности гармонии» основано на «идее о значимом влиянии математических структур», – «фундаментальной идее, унаследованной современной точной наукой от античности»; открытие, приписываемое Пифагору, принадлежит «к числу сильнейших стимулов для развития науки в целом». В последнее время продолжают появляться работы, в которых легенда воспроизводится без критической оценки и без указания на ее физическую и историческую несостоятельность. Например, в научно-популярной книге Дэниела Хеллера Роазена «Пятый молот: Пифагор и дисгармония мира».