Математикалық нотацияның шабуылдануы: дұрыс емес, бірақ түсінікті болу үшін қолданылатын белгілер. Формалдылық, контекст, жаңа терминдер туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық белгіленудің бейресми қолданылуы
Informal use of mathematical notation
Математикада белгіленуді теріс пайдалану, автор математикалық белгіленуді толыққанды формальды түрде дұрыс емес қолданғанда, бірақ бұл түсіндіруді жеңілдетуге немесе дұрыс түйсіктерді ұсынуға көмектесе алады (сонымен қатар қателер мен шатасуды азайтуға мүмкіндік береді). Дегенмен, формальды/синтаксистік дұрыстық ұғымы уақыт пен контекстке байланысты болғандықтан, математикадағы белгілі бір белгіленулер бір контекстте теріс пайдалану ретінде қарастырылса, бір немесе бірнеше басқа контексттерде формальды түрде дұрыс болуы мүмкін. Теория алғаш рет формальды түрде жазылғанға дейін жаңа белгіленулер енгізілген кезде, уақытқа тәуелді белгіленуді теріс пайдалану орын алуы мүмкін; оларды теорияны нығайту және/немесе жақсарту арқылы формальды түрде түзетуге болады. Белгіленуді теріс пайдалануды, оның презентациялық артықшылықтары жоқ және одан аулақ болу керек белгіленуді дұрыс емес пайдаланудан (мысалы, интеграция тұрақтыларын теріс пайдалану) ажырату керек. Бұған байланысты ұғым – тілді немесе терминологияны теріс пайдалану, онда белгілену емес, термин дұрыс емес қолданылады. Тілді теріс пайдалану – бұл белгіленуге қатысты емес теріс пайдаланудың дерлік синонимдік көрінісі. Мысалы, «бейнелеу» сөзі G тобынан GL(V) векторлық кеңістігіне жүретін топ гомоморфизмін дұрыс белгілесе, V-ді «G-дің бейнелеуі» деп атау жиі кездеседі. Тілді теріс пайдаланудың тағы бір кең таралған түрі – әртүрлі болса да, каноникалық түрде изоморфты екі математикалық нысанды теңестіру. Басқа мысалдарға тұрақты функцияны оның мәнімен теңестіру, негізгі жиынтығының атымен екілік операциясы бар топты теңестіру немесе Картезиандық координаттар жүйесімен жабдықталған үш өлшемді Евклид кеңістігіне теңестіру жатады.
In mathematics, abuse of notation occurs when an author uses a mathematical notation in a way that is not entirely formally correct, but which might help simplify the exposition or suggest the correct intuition (while possibly minimizing errors and confusion at the same time). However, since the concept of formal/syntactical correctness depends on both time and context, certain notations in mathematics that are flagged as abuse in one context could be formally correct in one or more other contexts. Time dependent abuses of notation may occur when novel notations are introduced to a theory some time before the theory is first formalized; these may be formally corrected by solidifying and/or otherwise improving the theory. Abuse of notation should be contrasted with misuse of notation, which does not have the presentational benefits of the former and should be avoided (such as the misuse of constants of integration). A related concept is abuse of language or abuse of terminology, where a term — rather than a notation — is misused. Abuse of language is an almost synonymous expression for abuses that are non notational by nature. For example, while the word representation properly designates a group homomorphism from a group G to GL(V), where V is a vector space, it is common to call V "a representation of G". Another common abuse of language consists in identifying two mathematical objects that are different, but canonically isomorphic. Other examples include identifying a constant function with its value, identifying a group with a binary operation with the name of its underlying set, or identifying to the Euclidean space of dimension three equipped with a Cartesian coordinate system.
Құрылымдық математикалық нысандар
Көптеген математикалық объектілер математикалық операция немесе топология сияқты қосымша құрылыммен жабдықталған жиынтықтан тұрады. Көбінесе, негізгі жиынтық пен құрылымдалған объектіні белгілеу үшін бірдей белгілерді қолдану қателікке жол берілмейді (бұл құбылыс параметрлерді жою деп аталады). Мысалы, бүтін сандар жиынын, қосумен бірге бүтін сандар тобын немесе қосу және көбейтумен бүтін сандар сақинасын білдіруі мүмкін. Егер қарастырылып отырған объект жақсы түсінілсе, мұндай қателіктерге жол берудің зияны жоқ, ал олардан аулақ болу математикалық мәтіндерді артық педантикалық және оқуға қиын етуі мүмкін. Егер мұндай белгілерді пайдалану шатастыратын болса, қосумен бүтін сандар тобын ал, бүтін сандар сақинасын деп белгілеп, оларды ажыратуға болады. Сол сияқты, топологиялық кеңістік X жиынтығынан (негізгі жиынтық) және X-тің кіші жиынтықтары жиынтығымен (ашық жиынтықтар) сипатталатын топологиясынан тұрады. Көбінесе X-те тек бір топология қарастырылады, сондықтан X-ті негізгі жиынтық ретінде де, X және оның топологиясынан тұратын жұп ретінде де қарастыруда көбінесе ешқандай қиындық туындамайды, тіпті олар техникалық тұрғыдан ерекше математикалық объектілер болса да. Дегенмен, кейде бір жиынтыққа қатысты екі түрлі топология бір уақытта қарастырылуы мүмкін. Мұндай жағдайда, әр түрлі топологиялық кеңістіктерді ажырату үшін сақтық таныту және және сияқты белгілерді қолдану қажет.
Many mathematical objects consist of a set, often called the underlying set, equipped with some additional structure, such as a mathematical operation or a topology. It is a common abuse of notation to use the same notation for the underlying set and the structured object (a phenomenon known as suppression of parameters). For example, may denote the set of the integers, the group of integers together with addition, or the ring of integers with addition and multiplication. In general, there is no problem with this if the object under reference is well understood, and avoiding such an abuse of notation might even make mathematical texts more pedantic and more difficult to read. When this abuse of notation may be confusing, one may distinguish between these structures by denoting the group of integers with addition, and the ring of integers. Similarly, a topological space consists of a set X (the underlying set) and a topology which is characterized by a set of subsets of X (the open sets). Most frequently, one considers only one topology on X, so there is usually no problem in referring X as both the underlying set, and the pair consisting of X and its topology — even though they are technically distinct mathematical objects. Nevertheless, it could occur on some occasions that two different topologies are considered simultaneously on the same set. In which case, one must exercise care and use notation such as and to distinguish between the different topological spaces.
Функция белгісі
Көптеген оқулықтарда "Let be a function " деген сияқты сөйлемдер кездеседі. Бұл нотацияны дұрыс емес пайдалану, себебі функцияның аты – , ал функцияның доменінің элементі үшін мәнін көрсетеді. Нақтырақ айтқанда, дұрыс формулировкалар " айнымалысының функциясы болсын" немесе " функциясы болсын" болар еді. Бұл нотацияны дұрыс емес пайдалану кеңінен таралған, өйткені ол жазуды жеңілдетеді, ал дұрыс нотацияны жүйелі қолдану тез тым талапкерлікке салады. "Функцияны қарастырайық " сияқты сөйлемдерде де ұқсас нотацияны дұрыс емес пайдалану кездеседі, бірақ шындығында полиномдық өрнек, функция емес. -ты -қа сәйкестендіретін функцияны деп белгілеуге болады. Дегенмен, бұл нотацияны дұрыс емес пайдалану кеңінен қолданылады, себебі ол ықшам, бірақ көбінесе шатастырмайды.
One may encounter, in many textbooks, sentences such as "Let be a function ". This is an abuse of notation, as the name of the function is and denotes the value of for the element of its domain. More precisely correct phrasings include "Let be a function of the variable " or "Let be a function " This abuse of notation is widely used, as it simplifies the formulation, and the systematic use of a correct notation quickly becomes pedantic. A similar abuse of notation occurs in sentences such as "Let us consider the function ", when in fact is a polynomial expression, not a function per se. The function that associates to can be denoted Nevertheless, this abuse of notation is widely used, since it is more concise but generally not confusing.
Теңдестік кластары
Теңдестік қатынасының теңдестік класына [x] орнына x арқылы сілтеме жасау – нотацияны дұрыс емес пайдалану болып табылады. Формальды түрде, егер X жиыны теңдестік қатынас ~ арқылы бөлінсе, онда әр x ∈ X үшін {y ∈ X | y ~ x} теңдестік класы [x] деп белгіленеді. Бірақ практикада, егер талқылаудың қалған бөлігі негізгі жиынның жекелеген элементтерінен гөрі теңдестік кластарында болса, онда талқылауда тіктөртбұрышты жақшаларды түсіріп тастау қалыпты жағдай. Мысалы, модульдік арифметикада, n реттік шекті топты "x ~ y егер және тек қана x ≡ y (mod n)" теңдестік қатынасы арқылы бүтін сандарды бөлу арқылы құруға болады. Осы топтың элементтері [0], [1], ..., [n − 1] болар еді, бірақ практикада олар әдетте 0, 1, ..., n − 1 деп белгіленеді. Тағы бір мысал – өлшенетін функциялардың (кластарының) кеңістігі өлшемдік кеңістікте немесе Лебег интегралданатын функциялардың кластары, онда теңдестік қатынасы "демеушілік бойынша дерлік әр жерде" теңдік болып табылады.
Referring to an equivalence class of an equivalence relation by x instead of [x] is an abuse of notation. Formally, if a set X is partitioned by an equivalence relation ~, then for each x ∈ X, the equivalence class {y ∈ X | y ~ x} is denoted [x]. But in practice, if the remainder of the discussion is focused on the equivalence classes rather than the individual elements of the underlying set, then it is common to drop the square brackets in the discussion. For example, in modular arithmetic, a finite group of order n can be formed by partitioning the integers via the equivalence relation "x ~ y if and only if x ≡ y (mod n)". The elements of that group would then be [0], [1], , [n − 1], but in practice they are usually denoted simply as 0, 1, , n − 1. Another example is the space of (classes of) measurable functions over a measure space, or classes of Lebesgue integrable functions, where the equivalence relation is equality "almost everywhere".
Субъективтілік
"Тілдің теріс пайдалануы" және "белгілердің теріс пайдалануы" түсініктері контекстке байланысты. "f: A → B" деп жазу A-дан B-ге дейінгі ішінара функция үшін көбінесе белгілерді дұрыс емес пайдалану болып саналады, бірақ категориялық теория контексінде емес, онда f жиынтар мен ішінара функциялар санатындағы морфизм ретінде қарастырылуы мүмкін.
The terms "abuse of language" and "abuse of notation" depend on context. Writing "f : A → B" for a partial function from A to B is almost always an abuse of notation, but not in a category theoretic context, where f can be seen as a morphism in the category of sets and partial functions.