Введение

Неформальное использование математической нотации

В математике злоупотребление нотацией происходит, когда автор использует математическую нотацию способом, который не является полностью формально корректным, но может помочь упростить изложение или подсказать верную интуицию (при этом, возможно, минимизируя ошибки и путаницу). Однако, поскольку понятие формальной/синтаксической корректности зависит как от времени, так и от контекста, некоторые нотации в математике, которые рассматриваются как злоупотребление в одном контексте, могут быть формально корректными в одном или нескольких других контекстах. Злоупотребления нотацией, зависящие от времени, могут возникать, когда новые нотации вводятся в теорию за некоторое время до её первой формализации; они могут быть формально исправлены посредством уточнения и/или иного улучшения теории. Злоупотребление нотацией следует отличать от неправильного использования нотации, которое не обладает преимуществами первого и должно быть избегаемо (например, неправильное использование констант интегрирования). Связанное понятие – злоупотребление языком или терминологией, когда неправильно используется термин, а не нотация. Злоупотребление языком – это почти синонимичное выражение для злоупотреблений, которые не связаны с нотацией по своей природе. Например, хотя слово «представление» корректно обозначает групповой гомоморфизм из группы G в GL(V), где V – векторное пространство, обычно называют V «представлением G». Другим распространенным злоупотреблением языком является отождествление двух различных, но канонически изоморфных математических объектов. Другие примеры включают отождествление постоянной функции со своим значением, отождествление группы с бинарной операцией с названием её базового множества или отождествление с трехмерным евклидовым пространством, снабженным декартовой системой координат.

Структурированные математические объекты

Многие математические объекты состоят из множества, часто называемого базовым множеством, снабженного некоторой дополнительной структурой, такой как математическая операция или топология. Распространенной практикой является использование одного и того же обозначения для базового множества и структурированного объекта (явление, известное как подавление параметров). Например, может обозначать множество целых чисел, группу целых чисел с операцией сложения или кольцо целых чисел с операциями сложения и умножения. В целом, это не вызывает проблем, если рассматриваемый объект хорошо понятен, и избежание подобного использования обозначений может сделать математические тексты излишне педантичными и сложными для чтения. Если же такое использование обозначений может привести к путанице, можно различать эти структуры, обозначая группу целых чисел как , а кольцо целых чисел как . Аналогично, топологическое пространство состоит из множества X (базового множества) и топологии , которая определяется набором подмножеств X (открытых множеств). Чаще всего рассматривается только одна топология на X, поэтому обычно нет проблем обозначать X как базовое множество и как пару, состоящую из X и его топологии , хотя технически это разные математические объекты. Однако, иногда может возникнуть необходимость рассматривать одновременно две различные топологии на одном и том же множестве. В этом случае необходимо проявлять осторожность и использовать обозначения, такие как и , чтобы различать различные топологические пространства.

Функциональная нотация

Во многих учебниках можно встретить такие предложения, как "Пусть f — функция". Это некорректное использование обозначений, поскольку именем функции является f, а f(x) обозначает значение функции f для элемента x из её области определения. Более точные и правильные формулировки включают "Пусть f — функция переменной x" или "Пусть f — функция, заданная как f(x)". Это некорректное использование обозначений широко распространено, так как оно упрощает формулировку, и систематическое использование правильных обозначений быстро становится излишне педантичным. Аналогичное некорректное использование обозначений встречается в предложениях, таких как "Рассмотрим функцию", когда на самом деле это полиномиальное выражение, а не функция как таковая. Функция, которая сопоставляет x значению f(x), может быть обозначена как F. Тем не менее, это некорректное использование обозначений широко распространено, поскольку оно более лаконично и, как правило, не вызывает путаницы.

Классы эквивалентности

Ссылка на эквивалентный класс отношения эквивалентности через x вместо [x] является некорректным использованием обозначений. Формально, если множество X разбито отношением эквивалентности ~, то для каждого x ∈ X, класс эквивалентности {y ∈ X | y ~ x} обозначается как [x]. Однако на практике, если дальнейшее обсуждение сосредоточено на классах эквивалентности, а не на отдельных элементах исходного множества, то часто опускают квадратные скобки. Например, в модульной арифметике конечная группа порядка n может быть сформирована путем разбиения целых чисел с помощью отношения эквивалентности "x ~ y тогда и только тогда, когда x ≡ y (mod n)". Элементы этой группы тогда будут [0], [1], ..., [n − 1], но на практике их обычно обозначают просто как 0, 1, ..., n − 1. Другой пример – пространство (классов) измеримых функций на измеримом пространстве или классы функций, интегрируемых по Лебегу, где отношением эквивалентности является равенство "почти всюду".

Субъективность

Термины "злоупотребление языком" и "злоупотребление обозначениями" зависят от контекста. Запись "f : A → B" для частичной функции из A в B почти всегда является злоупотреблением обозначениями, но не в контексте теории категорий, где f можно рассматривать как морфизм в категории множеств и частичных функций.