Кіріспе
Математикалық теорема
Математикада Грёнвалл теңсіздігі (Грёнвалл леммасы немесе Грёнвалл–Беллман теңсіздігі деп те аталады) белгілі бір дифференциалдық немесе интегралдық теңсіздікті қанағаттандыратын функцияны, тиісті дифференциалдық немесе интегралдық теңдеудің шешімімен шектеуге мүмкіндік береді. Лемманың екі түрі бар: дифференциалдық және интегралдық түрлер. Соңғысының бірнеше нұсқасы бар. Грёнвалл теңсіздігі – қалыпты және стохастикалық дифференциалдық теңдеулер теориясында түрлі шамаларды алу үшін маңызды құрал. Атап айтқанда, ол бастапқы шарттар бойынша есептің шешімінің бірегейлігін дәлелдеуге қолданылатын салыстыру теоремасын ұсынады; Пикар–Линделоф теоремасын қараңыз. Ол Томас Хакон Грёнвалл (1877–1932) есімімен аталған. Грёнвалл – оның атының шведше жазылуы, бірақ ол АҚШ-қа көшкеннен кейін ғылыми жарияланымдарында Gronwall деп жазды. Теңсіздікті алғаш рет 1919 жылы Грёнвалл дәлелдеді (төмендегі интегралдық түр, α және β тұрақтылары бар). Ричард Беллман 1943 жылы сәл жалпы интегралдық түрді дәлелдеді. Грёнвалл–Беллман теңсіздігінің сызықтық емес жалпылауы Бихари–ЛаСалль теңсіздігі деп аталады. Басқа нұсқалар мен жалпылауларды Пачпатте, Б. Г. (1998) еңбегінен табуға болады.
In mathematics, Grönwall's inequality (also called Grönwall's lemma or the Grönwall–Bellman inequality) allows one to bound a function that is known to satisfy a certain differential or integral inequality by the solution of the corresponding differential or integral equation. There are two forms of the lemma, a differential form and an integral form. For the latter there are several variants. Grönwall's inequality is an important tool to obtain various estimates in the theory of ordinary and stochastic differential equations. In particular, it provides a comparison theorem that can be used to prove uniqueness of a solution to the initial value problem; see the Picard–Lindelöf theorem. It is named for Thomas Hakon Grönwall (1877–1932). Grönwall is the Swedish spelling of his name, but he spelled his name as Gronwall in his scientific publications after emigrating to the United States. The inequality was first proven by Grönwall in 1919 (the integral form below with α and β being constants). Richard Bellman proved a slightly more general integral form in 1943. A nonlinear generalization of the Grönwall–Bellman inequality is known as Bihari–LaSalle inequality. Other variants and generalizations can be found in Pachpatte, B. G. (1998).
Ескертпелер
α және u функцияларында үздіксіздік туралы ешқандай болжам жоқ. Грёнвалл теңсіздігіндегі интеграл шексіз мән беруге мүмкіндік береді. Егер α нөлдік функция болса және u теріс емес болса, онда Грёнвалл теңсіздігі u нөлдік функция екенін көрсетеді. Нәтиже үшін u-дың μ-ға қатысты интегралдануы қажет. Мысал ретінде, μ бірлік аралығындағы Лебег өлшемін білдірсін, және t ∈ үшін анықталынсын, ал α нөлдік функция болсын. С. Этьер және Т. Курцтың оқулығында келтірілген нұсқа α-ның теріс емес тұрақты сан және u-дың шектелген интервалдарда шектелген болуын талап етеді, бірақ μ өлшемінің жергілікті шекті болуын талап етпейді. Төменде келтірілгенге қарағанда, олардың дәлелі Rn(t) қалдығының қасиеттерін талқыламайды.
Дәлелдің тұжырымдамасы
Дәлел үш қадамға бөлінеді. Идеясы – болжамдалған интегралды теңсіздікті өзіне n рет қою. Бұл 1-шағылымда математикалық индукция қолданылып жасалады. 2-шағылымда өнімдер өлшемінің пермутациялық инварианттылығын пайдаланып, симплекстің өлшемін ыңғайлы түрде қайта жазамыз. Үшінші қадамда Grönwall теңсіздігінің қажетті түрін алу үшін n-ді шексізге дейін жібереміз.