Введение
Математическая теорема
В математике неравенство Гренвалля (также называемое леммой Гренвалля или неравенством Гренвалля — Беллмана) позволяет оценить функцию, которая, как известно, удовлетворяет определенному дифференциальному или интегральному неравенству, через решение соответствующего дифференциального или интегрального уравнения. Существуют две формы леммы: дифференциальная и интегральная. Для интегральной формы существует несколько вариантов. Неравенство Гренвалля является важным инструментом для получения различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, оно предоставляет теорему о сравнении, которая может быть использована для доказательства единственности решения задачи Коши; см. теорему Пикара — Линделёфа. Оно названо в честь Томаса Хакона Гренвалля (1877–1932). Грёнвалль — шведское написание его имени, но он писал своё имя как Gronwall в своих научных публикациях после эмиграции в Соединенные Штаты. Неравенство было впервые доказано Гренваллем в 1919 году (интегральная форма, представленная ниже, с α и β как константами). Ричард Беллман доказал немного более общую интегральную форму в 1943 году. Нелинейное обобщение неравенства Гренвалля — Беллмана известно как неравенство Бихари — ЛаСалля. Другие варианты и обобщения можно найти в Pachpatte, B. G. (1998).
In mathematics, Grönwall's inequality (also called Grönwall's lemma or the Grönwall–Bellman inequality) allows one to bound a function that is known to satisfy a certain differential or integral inequality by the solution of the corresponding differential or integral equation. There are two forms of the lemma, a differential form and an integral form. For the latter there are several variants. Grönwall's inequality is an important tool to obtain various estimates in the theory of ordinary and stochastic differential equations. In particular, it provides a comparison theorem that can be used to prove uniqueness of a solution to the initial value problem; see the Picard–Lindelöf theorem. It is named for Thomas Hakon Grönwall (1877–1932). Grönwall is the Swedish spelling of his name, but he spelled his name as Gronwall in his scientific publications after emigrating to the United States. The inequality was first proven by Grönwall in 1919 (the integral form below with α and β being constants). Richard Bellman proved a slightly more general integral form in 1943. A nonlinear generalization of the Grönwall–Bellman inequality is known as Bihari–LaSalle inequality. Other variants and generalizations can be found in Pachpatte, B. G. (1998).
Замечания
Нет никаких предположений о непрерывности функций α и u. Интеграл в неравенстве Гронволла может принимать бесконечное значение. Если α – нулевая функция, а u – неотрицательная, то из неравенства Гронволла следует, что u также является нулевой функцией. Интегрируемость u по мере μ существенна для получения результата. В качестве контрпримера, пусть μ обозначает меру Лебега на единичном интервале, определим и для t ∈ , и пусть α будет нулевой функцией. Версия, представленная в учебнике С. Этьера и Т. Курца, делает более строгие предположения, а именно, что α является неотрицательной константой, а u ограничена на ограниченных интервалах, но не требует локальной конечности меры μ. По сравнению с представленным ниже, их доказательство не рассматривает поведение остатка Rn(t).
Конспект доказательства
Доказательство состоит из трех шагов. Идея заключается в подстановке предполагаемого интегрального неравенства в себя n раз. Это делается в утверждении 1 с использованием математической индукции. В утверждении 2 мы переписываем меру симплекса в удобном виде, используя инвариантность произведения мер относительно перестановок. На третьем шаге мы переходим к пределу при n стремящемся к бесконечности, чтобы получить желаемый вариант неравенства Гронволла.