Кіріспе
Статистика және ықтималдық теориясын оқып жүрген студенттерде кейде қалыпты үлестірім туралы жаңылыс түсініктер қалыптасады, бұл идеялар сенімді көрінуі мүмкін, бірақ математикалық тұрғыдан дұрыс емес. Мысалы, кейде екі сызықтық байланысы жоқ, қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалар статистикалық тәуелсіз болуы керек деп жаңылысады. Дегенмен, бұл дұрыс емес, оны қарсы мысал арқылы көрсетуге болады. Сол сияқты, қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалардың сызықтық комбинациясының өзі қалыпты үлестірілген болады деп жаңылысады, бірақ қайтадан қарсы мысалдар оның дұрыс еместігін дәлелдейді. Алайда, екі кездейсоқ шама бірлесіп үлестірілуі мүмкін, сонда әрқайсысы жеке-жеке қалыпты үлестірілген болады, ал олар байланыссыз, бірақ тәуелсіз емес; мысалдары төменде келтірілген.
Students of statistics and probability theory sometimes develop misconceptions about the normal distribution, ideas that may seem plausible but are mathematically untrue. For example, it is sometimes mistakenly thought that two linearly uncorrelated, normally distributed random variables must be statistically independent. However, this is untrue, as can be demonstrated by counterexample. Likewise, it is sometimes mistakenly thought that a linear combination of normally distributed random variables will itself be normally distributed, but again, counterexamples prove this wrong. However, it is possible for two random variables and to be so distributed jointly that each one alone is marginally normally distributed, and they are uncorrelated, but they are not independent; examples are given below.
Симметриялық мысал
Егерде күтілетін мәні 0 және дисперсиясы 1 болатын қалыпты үлестірілімі болсын. Rademacher үлестіріліміне ие болсын, яғни, немесе , олардың әрқайсысы 1/2 ықтималдығымен, және деп есептесек, ол -тан тәуелсіз болсын. Сонда және өзара байланысты емес, оны олардың ковариациясын есептеу арқылы тексеруге болады. Сонымен қатар, екеуінің де қалыпты үлестірілімі бірдей. Дегенмен, және тәуелсіз емес. және тәуелсіз емес екенін көру үшін, немесе екенін қарастырыңыз. Ақырында, қарапайым сызықтық комбинацияның үлестірілімі 0-де оң ықтималдықты шоғырландырады: Сондықтан кездейсоқ шама қалыпты үлестірілімге ие емес, демек және де бірлесіп қалыпты үлестірілімге ие емес (жоғарыдағы анықтама бойынша). Бұл теңдік, -тың үлестірілімінің және шарттың симметриясынан туындайды. Бұл мысалда, айырмашылық қалыпты үлестірілімнен мүлдем өзгеше, себебі оның 0-ге тең болу ықтималдығы жоғары (шамамен 0,88). Керісінше, қалыпты үлестірілім үздіксіз үлестірілім болып табылады, дискретті бөлігі жоқ – яғни, ол кез келген бір нүктеде нөлден артық ықтималдықты шоғырландырмайды. Осылайша, олар жеке-жеке қалыпты үлестірілімге ие болғанымен, бірлесіп қалыпты үлестірілімге ие емес.
Finally, the distribution of the simple linear combination concentrates positive probability at 0: Therefore, the random variable is not normally distributed, and so also and are not jointly normally distributed (by the definition above). where the next to last equality follows from the symmetry of the distribution of and the symmetry of the condition that
In this example, the difference is nowhere near being normally distributed, since it has a substantial probability (about 0.88) of it being equal to 0. By contrast, the normal distribution, being a continuous distribution, has no discrete part—that is, it does not concentrate more than zero probability at any single point. Consequently and are not jointly normally distributed, even though they are separately normally distributed.
Ұшақтың барлық жерінде қолдауы бар үлгілер
Егер жазықтықтағы кездейсоқ нүктенің координаттары ықтималдық тығыздық функциясы бойынша таңдалса, онда кездейсоқ айнымалылар және өзара байланысты емес, олардың әрқайсысы қалыпты үлестірімге ие (орташа мәні 0 және дисперсиясы 1), бірақ тәуелсіз емес. Екі тәуелсіз стандартты қалыпты кездейсоқ шамалардың қатынасы Коши үлестіріміне ие екені белгілі. Сондай-ақ, Коши кездейсоқ айнымалысынан бастап, шартты үлестіруді шығаруға болады, осылайша және тәуелсіз және стандартты қалыпты болады. Осыдан келесі теңдік туындайды:
мұнда – Радемахер кездейсоқ айнымалысы, ал – екі еркіндік дәрежесі бар Хи-квадрат кездейсоқ айнымалысы. Екі жиынтықты қарастырайық , ескеріңіз, – индекстелмейді, яғни екі анықтамада да бірдей Коши кездейсоқ айнымалысы қолданылады. Бұл индекстер арасындағы тәуелділіктерге әкеледі: ешқайсысы да және тәуелсіз емес. Бірақ, барлық және өзара байланысты емес, өйткені екіайнымалы үлестірімдердің бәрі де осьтерге қатысты симметриялық. Суретте жоғарыдағы үлестірімнен алынған үлгілердің диаграммасы көрсетілген. Бұл өзара байланысты емес және қалыпты шекті үлестірімдері бар екі екіайнымалы үлестірімнің мысалын береді, бірақ тәуелсіз емес. Сол жақтағы панельде және үлестірімдерінің бірлескен үлестірімі көрсетілген; бұл үлестірім шығу тегінен басқа барлық жерде анықталған. Оң жақтағы панельде және үлестірімдерінің бірлескен үлестірімі көрсетілген; бұл үлестірім осьтер бойындағы нүктелерден басқа барлық жерде анықталған және шығу тегінде үзіліске ие: тығыздық, осьтерден басқа кез келген түзу бойынан шығу тегіне жақындағанда шексіздікке ұшырайды.